日本数学オリンピックの簡単な問題（８１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

東北地方にある高気圧が関東も覆っていて晴れのいい天気になりましたが、明日は前線を伴った低気圧が近づいてきて、明日は雨模様です。最高気温は今日と変わらないのですが、天気が悪い分だけ寒く感じるかもしれません。暖かくして過ごしましょう。

さて、今回は２０１６年に品数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「１以上２０１５以下の整数の組（ａ，ｂ）があって、ａがｂ＋１の倍数であり、かつ２０１６－ａがｂの倍数であるようなものはいくつあるか。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

問題の条件を立式すると、
ａ＝ｎ（ｂ＋１）　　　　ｎは正整数　　 　　（１）
２０１６－ａ＝ｍｂ　　ｍは正整数　　　　（２）
です。

ここで、（１）を（２）に代入して変形すると、
２０１６－ｎ（ｂ＋１）＝ｍｂ
２０１６＝（ｍ＋ｎ）ｂ＋ｎ　　　　　　　　 　（３）
になります。

（３）を小学校で勉強した余りのある割り算の形にすると、
２０１６÷（ｍ＋ｎ）＝ｂ・・・ｎ　　　　　 　 （４）
になり、これと（１）から除数ｍ＋ｎが決まると、一意的にｂ、ｎ、ｍ、ａが決まることが判ります。

つまり、（４）を満たすｍ＋ｎの個数が（ａ，ｂ）の組合せの個数になります。

そこで、（４）を満たすｍ＋ｎの条件を調べてみると、
［１］　ｎ≠０から、ｍ＋ｎは２０１６を割り切らない整数
［２］　ｎ、ｍ≧１から、ｍ＋ｎ≧２
［３］　ｂ≧１から、ｍ＋ｎ≦２０１６
になります。

ここで、仮にｍ＋ｎ＝１とすると、それは［１］に反するので、［１］［２］［３］をまとめ直すと、
●ｍ＋ｎは、２０１６を割り切らない１≦ｍ＋ｎ≦２０１６の整数
ということになり、これは、
●ｍ＋ｎは、１以上２０１６以下の整数で２０１６の約数でないもの
ということです。

つまり、ｍ＋ｎの個数は、２０１６から２０１６の約数の個数を差し引いたもので、したがって、これが（ａ，ｂ）の組合せの個数になります。

そこで、２０１６の約数の個数を求めましょう。（約数と式の展開）

２０１６を素因数分解すると、
２０１６＝２^5×３^2×７
なので、その約数の個数は、
（５＋１）×（２＋１）×（１＋１）＝６×３×２＝３６個
です。

以上から、（ａ，ｂ）の組合せの個数は、　
２０１６－３６＝１９８０個
で、これが答えです。


面白い問題です。