中学生でも手が届く京大入試問題（１９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝から雨が降っていますが、南風のおかげで暖かく、春の雨といった感じです。夜には曇りになって、明日以降は、暖かい好天が続くようです。

さて、今回は平成２２年度京大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「点Ｏを中心とする正十角形において、Ａ、Ｂを隣接する２つの頂点とする。線分ＯＢ上に　ＯＰ^2＝ＯＢ・ＰＢ　を満たす点Ｐをとるとき、ＯＰ＝ＡＢが成立することを示せ。」
です。

まず、図を描きましょう。（図１）

▲図１．問題の図を描きました

図１は少し漠然としていて手掛かりが掴み難いので、取りあえず、与えられた条件を調べてみましょう。

そこで、
ＯＰ^2＝ＯＢ・ＰＢ
に
ＰＢ＝ＯＢ－ＯＰ
を代入すると、
ＯＰ^2＝ＯＢ（ＯＢ－ＯＰ）
から
ＯＰ^2＋ＯＢ・ＯＰ－ＯＢ^2＝０　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）
と、ＯＰの２次方程式を得ることができました。

ここで、（１）を解いてＯＰをＯＢで表し、一方、何らかの方法で、ＡＢをＯＢで表して、ＯＰ＝ＡＢを示す方針を採ることもできますが、この解き方はあとで紹介します。

ここでは図２のように、∠Ａの２等分線と線分ＯＢとの交点をＱとして、点Ｑが点Ｐと一致することを示すことにしましょう。

▲図２．∠Ａの２等分線と線分ＯＢとの交点をＱとしました

図２で、△ＯＡＢ∽△ＡＢＱなので、
ＡＢ/ＯＢ＝ＱＢ/ＡＢ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）
です。

また、角の二等分線定理により、
ＡＢ/ＡＯ＝ＱＢ/ＯＱ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）
が成り立ちます。

ここで、（２）（３）からＡＢを消去すると、
ＱＢ・ＯＢ＝（ＱＢ・ＡＯ/ＯＱ）^2
になり、さらにＡＯ＝ＯＢ、ＱＢ＝ＯＢ－ＯＱを代入して整理すると、
１＝（ＯＢ－ＯＱ）・ＯＢ/ＯＱ^2
ＯＱ^2＋ＯＢ・ＯＱ－ＯＢ^2＝０　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）
を導くことができます。

ここで、（１）（４）を見比べると、ＯＰとＯＱは、２次方程式
ｘ^2＋ＯＢ・ｘ－ＯＢ^2＝０　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（５）
の解であることが判ります。

そこで、（５）を解くと、
ｘ＝（－１±√５）・ＯＢ/２
で、ＯＰ、ＯＱ＞０なので、
ＯＰ＝ＯＱ＝（－１＋√５）・ＯＢ/２
です。

さらに、点Ｐも点Ｑも線分ＯＢ上にあるので、点Ｐと点Ｑは一致します。


一方、△ＱＯＡと△ＡＢＱはどちらも二等辺三角形なので、
ＯＱ＝ＡＱ＝ＡＢ
で、点Ｐと点Ｑは一致するので、
ＯＰ＝ＡＢ
が成り立ちます。

続いて、先ほど述べたＡＢをＯＢで表す方法を紹介します。

まず、（１）を解くと、
ＯＰ＝（－１±√５）/２・ＯＢ
で、ＯＰ＞０から
ＯＰ＝（－１＋√５）/２・ＯＢ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（６）
です。

次に、△ＯＡＢに正弦定理を利用すると、
ＡＢ/ｓｉｎ３６°＝ＯＢ/ｓｉｎ７２°
が成り立ちます。

ここで、２倍角の公式（ｓｉｎ７２°＝２ｓｉｎ３６°ｃｏｓ３６°）を利用して、
ＡＢ/ｓｉｎ３６°＝ＯＢ/ｓｉｎ３６°ｃｏｓ３６°
ＡＢ＝ＯＢ/２ｃｏｓ３６°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（７）
です。

つまり、ｃｏｓ３６°の値を求めれば、ＡＢをＯＢで表すことができます。

そこでｃｏｓ３６°の値を求めるため、まず２倍角の公式から
ｃｏｓ７２°＝２ｃｏｓ^2（３６°）－１
です。

さらに、３倍角の公式から
ｃｏｓ１０８°＝４ｃｏｓ^3（３６°）－３ｃｏｓ３６°
です。

ところが、ｃｏｓ７２°＝－ｃｏｓ１０８°なので、
２ｃｏｓ^2（３６°）－１＝ｃｏｓ１０８°＝４ｃｏｓ^3（３６°）－３ｃｏｓ３６°
が成り立ちます。

これを整理して因数分解すると、
（ｃｏｓ３６°＋１）（４ｃｏｓ^2（３６°）－２ｃｏｓ３６°－１）＝０
ｃｏｓ３６°≠１より、ｃｏｓ３６°＝（１＋√５）/４で、これを（７）に代入して、
ＡＢ＝２ＯＢ/（１＋√５）
　　＝（－１＋√５）/２・ＯＢ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（８）
になり、（６）（８）から、ＯＰ＝ＡＢです。


他にもいろいろな解き方がありそうです。興味のある人は調べてみてください。