こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、２０１９年日本ジュニア数学オリンピック本選に出題された整数問題を取り上げます。
問題は、
「ｎを３以上の整数とする。ｎ個のそれぞれ１色に塗られた球が円状に並んでおり、１、２、...、ｎがこの順に書き込まれている。球の色はちょうど１０種類あり、隣りあう球は違う色である。各色について、その色の球に書き込まれた整数の和は色によらず等しいという。このようなことのありうる最小のｎを求めよ。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
球の色が１０種類なので、
ｎ≧１０ （１）
です。
また、各色の球に書き込まれた整数の和をＳとすると、球の色が１０種類であることから、ｎ個の球に書き込まれた整数の総和は １０Ｓ になり、これは１からｎまでの和に等しいので、
が成り立ちます。
ここで（２）を
ｎ（ｎ＋１）＝２０Ｓ
と変形すると、左辺は２０の倍数であることが判ります。
このとき、ｎとｎ＋１は互いに素なので、（１）の下、
〔１〕ｎが２０の倍数 → ｎ＝２０ｋ（ｋは、ｋ≧１の整数）
〔２〕ｎ＋１が２０の倍数 → ｎ＝２０ｋ－１（ｋは、ｋ≧１の整数）
〔３〕ｎが４の倍数、かつ、ｎ＋１が５の倍数 → ｎ＝２０ｋ＋４（ｋは、ｋ≧１の整数）
〔４〕ｎが５の倍数、かつ、ｎ＋１が４の倍数 → ｎ＝２０ｋ＋１５（ｋは、ｋ≧０の整数）
と表すことができます。
したがって、（１）を満たすｎは、小さい順に、１５、１９、２０、２４、・・・になります。
ここから、ｎ＝１５、１９、２０、２４、・・・と順番に、与えられた条件を満たすかどうかを調べていきましょう。
● ｎ＝１５のとき
（１）からＳ＝１２です。
このとき、１３、１４、１５が書かれた球があるので、与えられた条件を満たしません。
● ｎ＝１９のとき
（１）からＳ＝１９です。
このとき、残りの１から１８が書かれた１８個の球を２球ずつ組にして、書かれた整数の和が１９になる組合せは、
（１，１８）、（２，１７）、（３，１６）、
（４，１５）、（５，１４）、（６，１３）、
（７，１２）、（８，１１）、（９，１０）
だけです。
ところが、これらの組のなかで、（９，１０）は隣りあう球なので、与えられた条件を満たしません。
● ｎ＝２０のとき
（１）からＳ＝２１です。
このとき、２０が書かれた球と組になるのは１が書かれた球だけです。
ところが、（１，２０）は隣りあう球なので、与えられた条件を満たしません。
● ｎ＝２４のとき
（１）からＳ＝３０です。
このとき、１から５まで書かれた球は３個以上の同色の組に含まれなければならないので、とりあえず（１，３，５）と（２，４）の組をつくってみましょう。
そこで、これらの２組と残りの１９個の球で、球に書かれた整数の和が３０になる組をつくっていくと、
（１，３，５，２１）、（２，４，２４）、（７，２３）、
（８，２２）、（１０，２０）、（１１，１９）、（１２，１８）、
（１３，１７）、（１４，１６）、（６，９，１５）
の組合せが可能で、これらのいずれの組にも隣りあう球はありません。
したがって、ｎ＝２４のとき、与えられた条件を満たします。
以上から、与えられた条件を満たす最小のｎは ２４ で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、２０１９年日本ジュニア数学オリンピック本選に出題された整数問題を取り上げます。
問題は、
「ｎを３以上の整数とする。ｎ個のそれぞれ１色に塗られた球が円状に並んでおり、１、２、...、ｎがこの順に書き込まれている。球の色はちょうど１０種類あり、隣りあう球は違う色である。各色について、その色の球に書き込まれた整数の和は色によらず等しいという。このようなことのありうる最小のｎを求めよ。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
球の色が１０種類なので、
ｎ≧１０ （１）
です。
また、各色の球に書き込まれた整数の和をＳとすると、球の色が１０種類であることから、ｎ個の球に書き込まれた整数の総和は １０Ｓ になり、これは１からｎまでの和に等しいので、
が成り立ちます。
ここで（２）を
ｎ（ｎ＋１）＝２０Ｓ
と変形すると、左辺は２０の倍数であることが判ります。
このとき、ｎとｎ＋１は互いに素なので、（１）の下、
〔１〕ｎが２０の倍数 → ｎ＝２０ｋ（ｋは、ｋ≧１の整数）
〔２〕ｎ＋１が２０の倍数 → ｎ＝２０ｋ－１（ｋは、ｋ≧１の整数）
〔３〕ｎが４の倍数、かつ、ｎ＋１が５の倍数 → ｎ＝２０ｋ＋４（ｋは、ｋ≧１の整数）
〔４〕ｎが５の倍数、かつ、ｎ＋１が４の倍数 → ｎ＝２０ｋ＋１５（ｋは、ｋ≧０の整数）
と表すことができます。
したがって、（１）を満たすｎは、小さい順に、１５、１９、２０、２４、・・・になります。
ここから、ｎ＝１５、１９、２０、２４、・・・と順番に、与えられた条件を満たすかどうかを調べていきましょう。
● ｎ＝１５のとき
（１）からＳ＝１２です。
このとき、１３、１４、１５が書かれた球があるので、与えられた条件を満たしません。
● ｎ＝１９のとき
（１）からＳ＝１９です。
このとき、残りの１から１８が書かれた１８個の球を２球ずつ組にして、書かれた整数の和が１９になる組合せは、
（１，１８）、（２，１７）、（３，１６）、
（４，１５）、（５，１４）、（６，１３）、
（７，１２）、（８，１１）、（９，１０）
だけです。
ところが、これらの組のなかで、（９，１０）は隣りあう球なので、与えられた条件を満たしません。
● ｎ＝２０のとき
（１）からＳ＝２１です。
このとき、２０が書かれた球と組になるのは１が書かれた球だけです。
ところが、（１，２０）は隣りあう球なので、与えられた条件を満たしません。
● ｎ＝２４のとき
（１）からＳ＝３０です。
このとき、１から５まで書かれた球は３個以上の同色の組に含まれなければならないので、とりあえず（１，３，５）と（２，４）の組をつくってみましょう。
そこで、これらの２組と残りの１９個の球で、球に書かれた整数の和が３０になる組をつくっていくと、
（１，３，５，２１）、（２，４，２４）、（７，２３）、
（８，２２）、（１０，２０）、（１１，１９）、（１２，１８）、
（１３，１７）、（１４，１６）、（６，９，１５）
の組合せが可能で、これらのいずれの組にも隣りあう球はありません。
したがって、ｎ＝２４のとき、与えられた条件を満たします。
以上から、与えられた条件を満たす最小のｎは ２４ で、これが答えです。
簡単な問題です。