日本ジュニア数学オリンピック本選の問題（５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１９年日本ジュニア数学オリンピック本選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「ａ、ｂを正の整数とする。

（１）不等式
　　　　　
が成立することを示せ。

（２）この不等式の等号が成立するような正の整数の組（ａ，ｂ）をすべて求めよ。

ただし、正の整数ｘ、ｙに対し、ｘとｙの最大公約数をｇｃｄ（ｘ，ｙ）で表し、ｘとｙのうち小さい数をｍｉｎ（ｘ，ｙ）で表す。なお、ｘ＝ｙのときはｍｉｎ（ｘ，ｙ）＝ｘとする。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

ｇｃｄ（ａ，ｂ＋１）、ｇｃｄ（ａ＋１，ｂ）のままでは扱い難いので、それぞれをＭとＮとしましょう。

すると、ａ、ｂ＋１ はＭの倍数で、ａ＋１、ｂはＮの倍数なので、
　ａ　＝ｋＭ　　　　　　　　　　〔１〕
ｂ＋１＝ｌＭ　　　　　　　　　　〔２〕
ａ＋１＝ｓＮ　　　　　　　　　　〔３〕
　ｂ　＝ｔＮ　　　　　　　　　　〔４〕
と表すことができます。このとき、ｋ、ｌ、ｓ、ｔは正の整数です。

また、与えられた不等式は、ａとｂを交換しても同じ不等式になるので、Ｍ≦Ｎとして進めます。

〔１〕と〔４〕、〔２〕と〔３〕の辺々を掛け合わせると、それぞれ、
ａｂ＝ｋｔＭＮ　　　　　　　　　〔５〕
（ａ＋１）（ｂ＋１）＝ｌｓＭＮ　〔６〕
になります。

さらに、〔５〕と〔６〕の辺々の差をとると、
（ａ＋１）（ｂ＋１）－ａｂ＝ａｂ＋ａ＋ｂ＋１－ａｂ
　　　　　　　　　　　　　＝ａ＋ｂ＋１
　　　　　　　　　　　　　＝ｌｓＭＮ－ｋｔＭＮ
　　　　　　　　　　　　　＝（ｌｓ－ｋｔ）ＭＮ
で、これから
ａ＋ｂ＋１＝（ｌｓ－ｋｔ）ＭＮ
なので、ａ＋ｂ＋１はＭＮの倍数になります。

したがって、
ａ＋ｂ＋１≧ＭＮ　　　　　　　　〔７〕
です。

ここから、Ｍ＝Ｎと、Ｍ＜Ｎ、つまりＭ＋１≦Ｎに場合分けして調べます。

● Ｍ＝Ｎの場合
〔１〕と〔３〕から
　ａ　＝ｋＭ
ａ＋１＝ｓＭ
になり、このとき、ａとａ＋１は互いに素なので、Ｍ＝１になります。

すると、与えられた不等式の左辺は１になり、一方、

なので、与えられた不等式は、等号を除いて、成り立ちます。

● Ｍ＜Ｎ⇒Ｍ＋１≦Ｎの場合

で、このとき〔７〕から
４ＭＮ＋１≦４（ａ＋ｂ＋１）＋１
　　　　　＝４ａ＋４ｂ＋５
が成り立ちます。（不等式右辺の根号内の式が現れました）

これを整理すると、

になります。

あとは〔８〕を使って、与えられた不等式の右辺を変形するだけです。


で、左辺はＭなので、与えられた不等式は成り立ちます。このとき、等号が成立するのは、Ｎ＝Ｍ＋１、ＭＮ＝ａ＋ｂ＋１のときです。

以上から、与えられた不等式が成り立つことを示すことができました。


（２）は次回に取り上げます。