日本ジュニア数学オリンピック本選の問題（５）続き

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１９年日本ジュニア数学オリンピック本選に出題された整数問題の続きです。

問題は、
「ａ、ｂを正の整数とする。

（１）不等式
　　　　　
が成立することを示せ。

（２）この不等式の等号が成立するような正の整数の組（ａ，ｂ）をすべて求めよ。

ただし、正の整数ｘ、ｙに対し、ｘとｙの最大公約数をｇｃｄ（ｘ，ｙ）で表し、ｘとｙのうち小さい数をｍｉｎ（ｘ，ｙ）で表す。なお、ｘ＝ｙのときはｍｉｎ（ｘ，ｙ）＝ｘとする。」
です。

前回（１）を片付けたので、今回は（２）です。途中で、前回の〔３〕と〔４〕を使うので、それらを再掲します。

ｇｃｄ（ａ，ｂ＋１）、ｇｃｄ（ａ＋１，ｂ）をそれぞれＭとＮとすると、ａ、ｂ＋１ はＭの倍数で、ａ＋１、ｂはＮの倍数なので、
　ａ　＝ｋＭ　　　　　　　　　　〔１〕
ｂ＋１＝ｌＭ　　　　　　　　　　〔２〕
ａ＋１＝ｓＮ　　　　　　　　　　〔３〕
　ｂ　＝ｔＮ　　　　　　　　　　〔４〕
と表すことができます。このとき、ｋ、ｌ、ｓ、ｔは正の整数です。

それでは（２）に取り掛かりましょう。

（１）の結果から与えられた不等式の等号が成立するのは、
Ｍ＜Ｎのとき、
ＭＮ＝ａ＋ｂ＋１　　　　　　　　〔９〕
Ｎ＝Ｍ＋１　　　　　　　　　　〔１０〕
と判りました。

ここで、ａ－Ｍを調べてみましょう。

初めに、〔９〕と〔１０〕から

です。

すると、

で、〔３〕の
ｂ＋１＝ｌＭ
を〔１２〕に代入すると、

になり、ａ－Ｍは、Ｍの倍数であることが判ります。

また〔１１〕から

で、〔４〕の
ｂ＝ｔＮ
　＝ｔ（Ｍ＋１）
を〔１４〕に代入すると、

になり、ａ－Ｍは、Ｍ＋１の倍数であることが判ります。

以上から、ａ－Ｍは、Ｍの倍数かつＭ＋１の倍数で、ＭとＭ＋１は互いに素なので、
ａ－Ｍ＝ｐＭ（Ｍ＋１）　　　　 〔１４〕　
（ｐは非負整数）
と表すことができます。

一方、ａはＭの倍数なので、
ａ－Ｍ≧０　　　　　　　　　　
で、さらに、
ａ－Ｍ＜ａ＋ｂ＋１
　　　＝ＭＮ
　　　＝Ｍ（Ｍ＋１）　　　　　　〔１５〕
です。

すると、〔１４〕と〔１５〕から
ｐＭ（Ｍ＋１）＜Ｍ（Ｍ＋１）
で、これから
ｐ＜１
で、したがって、
ｐ＝０
になります。

すると、〔１４〕から
ａ－Ｍ＝０
で、
ａ＝Ｍ
になり、これと〔１１〕から

です。

ここで、Ｍをｎとすると、

で、ｂ＞０から
ｎ≧２
です。

また、〔１６〕と〔１７〕を与えられた不等式の左辺に代入すると、

から

になります。

一方、右辺は、

になり、（左辺）＝（右辺）が成り立ちます。

したがって、
Ｍ＜Ｎのとき、

で、さらに、Ｍ＞Ｎのとき

です。

以上から、与えられた不等式の等号が成立するような正の整数の組（ａ，ｂ）は、

で、これが答えです。

簡単そうに思えたのですが、難しい問題でした。