（01）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） １２ＣＰ
（02）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｒ １∨Ｉ
（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｒ） １２ＣＰ
（03）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｐ∨Ｑ Ａ
３ （３） Ｑ→Ｒ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
３４ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
３４ （６） Ｐ∨Ｒ ５∨Ｉ
７ （７） Ｐ Ａ
７ （８） Ｐ∨Ｒ ６∨Ｉ
１３ （９） Ｐ∨Ｒ ２４６７８∨Ｅ
１ （ア） （Ｑ→Ｒ）→（Ｐ∨Ｒ） ３９ＣＰ
（イ） （Ｐ∨Ｑ）→｛（Ｑ→Ｒ）→（Ｐ∨Ｒ）｝ ２アＣＰ
ウ（ウ） （Ｐ∨Ｑ）＆ （Ｑ→Ｒ） Ａ
ウ（エ） （Ｐ∨Ｑ） ウ＆Ｅ
ウ（オ） （Ｑ→Ｒ）→（Ｐ∨Ｒ） イエＭＰＰ
ウ（カ） （Ｑ→Ｒ） ウ＆Ｅ
ウ（キ） （Ｐ∨Ｒ） オカＭＰＰ
（ク）｛（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｑ→Ｒ）｝→（Ｐ∨Ｒ） ウキＣＰ
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
② Ｐ→（Ｐ∨Ｒ）
③ ｛（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｑ→Ｒ）｝→（Ｐ∨Ｒ）
といふ「論理式」、すなはち、
① Ｐならば（Ｐであるか、または、Ｑである）。
② Ｐならば（Ｐであるか、または、Ｒである）。
③｛（Ｐであるか、または、Ｑであって）、尚且つ、（Ｑならば、Ｒである）｝ならば（Ｐであるか、または、Ｒである）。
は、３つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（03）により、
（04）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｐ∨Ｑ Ａ
３ （３） Ｑ→Ｒ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
３４ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
３４ （６） Ｐ∨Ｒ ５∨Ｉ
７ （７） Ｐ Ａ
７ （８） Ｐ∨Ｒ ６∨Ｉ
１３ （９） Ｐ∨Ｒ ２４６７８∨Ｅ
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
③｛（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｑ→Ｒ）｝→（Ｐ∨Ｒ）
④｛（Ｐ∨Ｑ） ｝→（Ｐ∨Ｒ）
に於いて、
③ は、「恒真式（トートロジー）」であるが、
④ は、「恒真式（トートロジー）」であるとは、限らない。
然るに、
（07）
④（０∨１）→（０∨０）
であれば、
④（ １ ）→（ ０ ）
であるため、この場合、
④（Ｐ∨Ｑ）→（Ｐ∨Ｒ）
は、「真」ではなく、「偽」である。
従って、
（04）（06）（07）により、
（08）
「番号」を、付け直すと、
① Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
② Ｐ→（Ｐ∨Ｒ）
③ （Ｐ∨Ｑ）→（Ｐ∨Ｒ）
といふ「論理式」、すなはち、
① Ｐならば（Ｐであるか、または、Ｑである）。
② Ｐならば（Ｐであるか、または、Ｒである）。
③ （Ｐであるか、または、Ｑである）ならば（Ｐであるか、または、Ｒである）。
に於いて、
③ は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
（01）
① ２×（３×４）＜（２×３）×（２×４）
② ２＋（３＋４）＜（２＋３）＋（２＋４）
③ ２×（３＋４）＝（２×３）＋（２×４）
④ ２＋（３×４）＜（２＋３）×（２＋４）
従って、
（01）により、
（02）
「数学」であれば、
① Ａ×（Ｂ×Ｃ）⇔（Ａ×Ｂ）×（Ａ×Ｃ）
② Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）⇔（Ａ＋Ｂ）＋（Ａ＋Ｃ）
③ Ａ×（Ｂ＋Ｃ）⇔（Ａ×Ｂ）＋（Ａ×Ｃ）
④ Ａ＋（Ｂ×Ｃ）⇔（Ａ＋Ｂ）×（Ａ＋Ｃ）
に於いて、唯一、
③ だけが、「正しい」。
従って、
（02）により、
（03）
「数学」でいふ、「分配法則」は、
③ Ａ×（Ｂ＋Ｃ）⇔（Ａ×Ｂ）＋（Ａ×Ｃ）
に、他ならない。
然るに、
（04）
「論理」に関しては、「結論」として、
① Ａ＆（Ｂ＆Ｃ）⇔（Ａ＆Ｂ）＆（Ａ＆Ｃ）
② Ａ∨（Ｂ∨Ｃ）⇔（Ａ∨Ｂ）∨（Ａ∨Ｃ）
③ Ａ＆（Ｂ∨Ｃ）⇔（Ａ＆Ｂ）∨（Ａ＆Ｃ）
④ Ａ∨（Ｂ＆Ｃ）⇔（Ａ∨Ｂ）＆（Ａ∨Ｃ）
といふ「４つの等式（分配法則）」が、成立する。
（05）
（ａ）
１（１） Ａ＆（Ｂ＆Ｃ） 仮定
１（２） Ａ １＆Ｅ
１（３） Ｂ＆Ｃ １＆Ｅ
１（４） Ｂ ３＆Ｅ
１（５） Ｃ ３＆Ｅ
１（６） Ａ＆Ｂ ２４＆Ｉ
１（７） Ａ＆Ｃ ２５＆Ｉ
１（８）（Ａ＆Ｂ）＆（Ａ＆Ｃ） ６７＆Ｉ
（ｂ）
１（１）（Ａ＆Ｂ）＆（Ａ＆Ｃ） Ａ
１（２）（Ａ＆Ｂ） １＆Ｅ
１（３） Ａ ２＆Ｅ
１（４） Ｂ ２＆Ｅ
１（５） （Ａ＆Ｃ） １＆Ｅ
１（６） Ｃ ５＆Ｅ
１（７） Ｂ＆Ｃ ４６＆Ｉ
１（８） Ａ＆（Ｂ＆Ｃ） ３７＆Ｉ
（06）
（ａ）
１ （１） Ａ∨（Ｂ∨Ｃ） 仮定
２ （２） Ａ 仮定
２ （３） Ａ∨Ｂ ２∨Ｉ
２ （４）（Ａ∨Ｂ）∨（Ａ∨Ｃ） ３∨Ｉ
５ （５） （Ｂ∨Ｃ） 仮定
６ （６） Ｂ 仮定
６ （７）（Ａ∨Ｂ） ６∨I
６ （８）（Ａ∨Ｂ）∨（Ａ∨Ｃ） ７∨I
９（９） Ｃ 仮定
９（ア） （Ａ∨Ｃ） ９∨Ｉ
９（イ）（Ａ∨Ｂ）∨（Ａ∨Ｃ） ア∨Ｉ
５ （ウ）（Ａ∨Ｂ）∨（Ａ∨Ｃ） ５６８９イ∨Ｅ
１ （エ）（Ａ∨Ｂ）∨（Ａ∨Ｃ） １２４５ウ∨Ｅ
（ｂ）
１ （１）（Ａ∨Ｂ）∨（Ａ∨Ｃ） 仮定
２ （２） Ａ∨Ｂ 仮定
３ （３） Ａ 仮定
３ （４） Ａ∨（Ｂ∨Ｃ） ３∨Ｉ
５ （５） Ｂ 仮定
５ （６） （Ｂ∨Ｃ） ５∨Ｉ
５ （７） Ａ∨（Ｂ∨Ｃ） ６∨Ｉ
２ （８） Ａ∨（Ｂ∨Ｃ） ２３４５７∨Ｅ
９ （９） Ａ∨Ｃ 仮定
ア （ア） Ａ 仮定
ア （イ） Ａ∨（Ｂ∨Ｃ） ア∨Ｉ
ウ（ウ） Ｃ 仮定
ウ（エ） Ｂ∨Ｃ ウ∨Ｉ
ウ（オ） Ａ∨（Ｂ∨Ｃ） エ∨I
９ （エ） Ａ∨（Ｂ∨Ｃ） ９アイウオ∨Ｅ
１ （オ） Ａ∨（Ｂ∨Ｃ） １２８９エ∨Ｅ
（07）
（ａ）
１ （１） Ａ＆（Ｂ∨Ｃ） 仮定
１ （２） Ａ １＆Ｅ
１ （３） Ｂ∨Ｃ １＆Ｅ
４ （４） Ｂ 仮定
１４ （５） Ａ＆Ｂ ２４＆Ｉ
１４ （６）（Ａ＆Ｂ）∨（Ａ＆Ｃ） ５∨Ｉ
７（７） Ｃ 仮定
１ ７（８） Ａ＆Ｃ ２７＆Ｉ
１ ７（９）（Ａ＆Ｂ）∨（Ａ＆Ｃ） ８∨Ｉ
１ （ア）（Ａ＆Ｂ）∨（Ａ＆Ｃ） ３４６７９∨Ｅ
（ｂ）
１ （１）（Ａ＆Ｂ）∨（Ａ＆Ｃ） 仮定
２ （２） Ａ＆Ｂ 仮定
２ （３） Ａ ２＆Ｅ
２ （４） Ｂ ２＆Ｅ
２ （５） Ｂ∨Ｃ ４∨Ｉ
２ （６）Ａ＆（Ｂ∨Ｃ） ３５＆Ｉ
７（７） Ａ＆Ｃ 仮定
７（８） Ａ ７＆Ｅ
７（９） Ｃ ７＆Ｅ
７（ア） Ｂ∨Ｃ ９∨
７（イ） Ａ＆（Ｂ∨Ｃ） ８ア＆Ｉ
１ （ウ）Ａ＆（Ｂ∨Ｃ） １２６７イ∨Ｅ
（08）
（ａ）
１ （１） Ａ∨（Ｂ＆Ｃ） 仮定
２ （２） Ａ 仮定
２ （３） Ａ∨Ｂ ２∨Ｉ
２ （４） Ａ∨Ｃ ２∨Ｉ
２ （５）（Ａ∨Ｂ）＆（Ａ∨Ｃ） ３４＆Ｉ
６（６） Ｂ＆Ｃ 仮定
６（７） Ｂ ６＆Ｅ
６（８） Ａ∨Ｂ ７∨Ｉ
６（９） Ｃ ６＆Ｅ
６（ア） Ａ∨Ｃ ９∨Ｉ
６（イ）（Ａ∨Ｂ）＆（Ａ∨Ｃ） ８ア＆Ｉ
１ （ウ）（Ａ∨Ｂ）＆（Ａ∨Ｃ） １２５６イ∨Ｅ
（ｂ）
１ （１） （Ａ∨Ｂ）＆（Ａ∨Ｃ） 仮定
１ （２） Ａ∨Ｂ １＆Ｅ
１ （３）～～Ａ∨Ｂ ２ＤＮ
１ （４） ～Ａ→Ｂ ３含意の定義
１ （５） Ａ∨Ｃ １＆Ｅ
１ （６） ～～Ａ∨Ｃ ５ＤＮ
１ （７） ～Ａ→Ｃ ３含意の定義
８（８） ～Ａ 仮定
１８（９） Ｂ ４８ＭＰＰ
１８（ア） Ｃ ７８ＭＰＰ
１８（イ） Ｂ＆Ｃ ９ア＆Ｉ
１ （ウ） ～Ａ→Ｂ＆Ｃ ８イＣＰ
１ （エ） Ａ∨（Ｂ＆Ｃ） ウ含意の定義
従って、
（05）（06）（07）（08）により、
（09）
果たして、
① Ａ＆（Ｂ＆Ｃ）⇔（Ａ＆Ｂ）＆（Ａ＆Ｃ）
② Ａ∨（Ｂ∨Ｃ）⇔（Ａ∨Ｂ）∨（Ａ∨Ｃ）
③ Ａ＆（Ｂ∨Ｃ）⇔（Ａ＆Ｂ）∨（Ａ＆Ｃ）
④ Ａ∨（Ｂ＆Ｃ）⇔（Ａ∨Ｂ）＆（Ａ∨Ｃ）
といふ「４つの等式（分配法則）」が、成立する。
（10）
２×２＝４＞２
２＋２＝４＞２
とは異なり、
Ａ＆Ａ＝Ａ（冪等律）
Ａ∨Ａ＝Ａ（冪等律）
であるが故に、
① Ａ＆（Ｂ＆Ｃ）⇔（Ａ＆Ｂ）＆（Ａ＆Ｃ）
② Ａ∨（Ｂ∨Ｃ）⇔（Ａ∨Ｂ）∨（Ａ∨Ｃ）
③ Ａ＆（Ｂ∨Ｃ）⇔（Ａ＆Ｂ）∨（Ａ＆Ｃ）
④ Ａ∨（Ｂ＆Ｃ）⇔（Ａ∨Ｂ）＆（Ａ∨Ｃ）
といふ「４つの等式（分配法則）」が、成立する（ものと、思はれる）。
従って、
（10）により、
（11）
① Ａ＆（Ｂ＆Ｃ）⇔（Ａ＆Ｂ）＆（Ａ＆Ｃ）
② Ａ∨（Ｂ∨Ｃ）⇔（Ａ∨Ｂ）∨（Ａ∨Ｃ）
③ Ａ＆（Ｂ∨Ｃ）⇔（Ａ＆Ｂ）∨（Ａ＆Ｃ）
④ Ａ∨（Ｂ＆Ｃ）⇔（Ａ∨Ｂ）＆（Ａ∨Ｃ）
といふ「４つの等式」は、「分配法則」といふよりも、むしろ、「冪等律」である（と、思はれる）。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ∨Ｒ Ａ
１ （２） Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ） １結合法則
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４）～～Ｐ ３ＤＮ
３ （５）～～Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ） ４∨Ｉ
３ （６） ～Ｐ→（Ｑ∨Ｒ） ５含意の定義
７（７） （Ｑ∨Ｒ） Ａ
７（８）～～Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ） ７∨Ｉ
７（９） ～Ｐ→（Ｑ∨Ｒ） ８含意の定義
１ （ア） ～Ｐ→（Ｑ∨Ｒ） １３６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ→（Ｑ∨Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ） １含意の定義
１ （３） Ｐ∨ Ｑ∨Ｒ ２結合法則
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨ Ｑ∨Ｒ
② ～Ｐ→（Ｑ∨Ｒ）
に於いて、すなはち、
① Ｐであるか、Ｑであるか、Ｒである。
② Ｐでないならば、 Ｑか、Ｒである。
において、
①＝② である。
（03）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ∨Ｒ Ａ
１ （２） Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ） １結合法則
１ （３） ～～Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ） ２ＤＮ
１ （４） ～Ｐ→（Ｑ∨Ｒ） ３含意の定義
５ （５） ～Ｐ Ａ
１５ （６） Ｑ∨Ｒ ４５ＭＰＰ
１５ （７） ～～Ｑ∨Ｒ ６ＤＮ
１５ （８） ～Ｑ→Ｒ ７含意の定義
１ （９） ～Ｐ→（～Ｑ→Ｒ） ５８ＣＰ
ア（ア） ～Ｐ＆ ～Ｑ Ａ
ア（イ） ～Ｐ ア＆Ｅ
１ ア（ウ） （～Ｑ→Ｒ） ９イＭＰＰ
ア（エ） ～Ｑ ア＆Ｅ
１ ア（オ） Ｒ ウエＭＰＰ
１ （カ）（～Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ アオＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （～Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（～Ｐ＆～Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３） Ｐ∨ Ｑ ∨Ｒ ２ド・モルガンの法則
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ
③（～Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
に於いて、すなはち、
① Ｐであるか、Ｑであるか、 Ｒである。
③ Ｐでなくて、Ｑでないならば、Ｒである。
（05）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ∨Ｒ Ａ
１ （２） Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ） １結合法則
１ （３）～～Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ） ２ＤＮ
４ （４）～～Ｐ Ａ
４ （５）～～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
４ （６） ～Ｐ→Ｑ ５含意の定義
４ （７）（～Ｐ→Ｑ）∨（～Ｐ→Ｒ） ６∨Ｉ
８ （８） Ｑ∨Ｒ Ａ
９ （９） Ｑ Ａ
９ （ア） ～～Ｐ∨Ｑ ９∨Ｉ
９ （イ） ～Ｐ→Ｑ ア含意の定義
９ （ウ）（～Ｐ→Ｑ）∨（～Ｐ→Ｒ） イ∨Ｉ
エ（エ） Ｒ Ａ
エ（オ） ～～Ｐ∨Ｒ エ∨Ｉ
エ（カ） ～Ｐ→Ｒ オ含意の定義
エ（キ）（～Ｐ→Ｑ）∨（～Ｐ→Ｒ） カ∨Ｉ
８ （ク）（～Ｐ→Ｑ）∨（～Ｐ→Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
１ （ケ）（～Ｐ→Ｑ）∨（～Ｐ→Ｒ） １４７８ク∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１）（～Ｐ→Ｑ）∨（～Ｐ→Ｒ） １
２ （２） ～Ｐ→Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２含意の定義
２ （４） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
５ （５） ～Ｐ→Ｒ Ａ
５ （６） Ｐ∨Ｒ ５含意の定義
５ （７） Ｑ∨Ｐ∨Ｒ ６∨Ｉ
５ （８） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ７交換法則
１ （９） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ １２４５８∨Ｅ
従って、
（05）により、
（06）
① Ｐ∨Ｑ∨Ｒ
④（～Ｐ→Ｑ）∨（～Ｐ→Ｒ）
に於いて、すなはち、
① Ｐであるか、Ｑであるか、Ｒである。
④（Ｐでないならば、Ｑである）か、（Ｐでないならば、Ｒである）。
に於いて、
①＝④ である。
従って、
（02）（04）（06）により、
（07）
① Ｐであるか、 Ｑであるか、 Ｒである。
② Ｐでないならば、Ｑであるか、 Ｒである。
③ Ｐでなくて、 Ｑでないならば、Ｒである。
④（Ｐでないならば、Ｑである）か、（Ｐでないならば、Ｒである）。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
（01）
（ⅰ）「Ａであるか、または、（Ｂであって、尚且つ、Ｃである）。」然るに、
（ⅱ）「Ａでない。」故に、
（ⅲ）「Ｂであって、尚且つ、Ｃである。」
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（02）
（ⅰ）「Ａでないならば（Ｂであって、尚且つ、Ｃである）。」然るに、
（ⅱ）「Ａでない。」故に、
（ⅲ）「Ｂであって、尚且つ、Ｃである。」
といふ「推論」も、「妥当」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ａであるか、または、（Ｂであって、尚且つ、Ｃである）。
② Ａでないならば、 （Ｂであって、尚且つ、Ｃである）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
③（Ａであるか、または、Ｂであって）、尚且つ、（Ａであるか、または、Ｃである）。
④（Ａでないならば、 Ｂであって）、尚且つ、（Ａでないならば、 Ｃである）。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（05）
② Ａでないならば、（Ｂであって、 尚且つ、 Ｃである）。
④（Ａでないならば、 Ｂであって）、尚且つ、（Ａでないならば、Ｃである）。
に於いて、
②＝④ である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① Ａであるか、または、（Ｂであって、 尚且つ、Ｃである）。
② Ａでないならば、 （Ｂであって、 尚且つ、Ｃである）。
③（Ａであるか、または、 Ｂであって）、尚且つ、（Ａであるか、または、Ｃである）。
④（Ａでないならば、 Ｂであって）、尚且つ、（Ａでないならば、 Ｃである）。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、尚且つ、
②＝④ である。
従って、
（06）により、
（07）
「番号」を付け直すと、
① Ａであるか、または、（Ｂであって、 尚且つ、Ｃである）。
②（Ａであるか、または、 Ｂであって）、尚且つ、（Ａであるか、または、Ｃである）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（07）により、
（08）
「記号」で書くと、
① Ａ∨（Ｂ＆Ｃ）
②（Ａ∨Ｂ）＆（Ａ∨Ｃ）
に於いて、
①＝② である（分配の法則Ⅱ）。
然るに、
（09）
従って、
（09）により、
（10）
「真理値表（Truth table）」により、
① Ａ∨（Ｂ＆Ｃ）
②（Ａ∨Ｂ）＆（Ａ∨Ｃ）
に於いて、
① の「真理値」と、
② の「真理値」は、「等しく」、それ故、
①＝② である（分配の法則Ⅱ）。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
① Ａ∨（Ｂ＆Ｃ）
②（Ａ∨Ｂ）＆（Ａ∨Ｃ）
に於いて、
①＝② である（分配の法則Ⅱ）。
といふことは、「真理値表」を用ひなくとも、「日本語」だけで、「説明（証明）」が可能である。
（01）
１０個の原始的規則、あるいは「定理」を用いて、つぎの連式を証明せよ（Using 10 primitive rules or theorems, prove the following sequent）。
Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）┤├ （Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨Ｒ ２∨Ｉ
２ （５）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ） ３４＆Ｉ
６（６） Ｑ＆Ｒ Ａ
６（７） Ｑ ６＆Ｅ
６（８） Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
６（９） Ｒ ６＆Ｅ
６（ア） Ｐ∨Ｒ ９∨Ｉ
６（イ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ） ８ア＆Ｉ
１ （ウ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ） １２５６イ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ∨Ｑ １＆Ｅ
１ （３）～～Ｐ∨Ｑ ２ＤＮ
１ （４） ～Ｐ→Ｑ ３含意の定義（は定理）。
１ （５） Ｐ∨Ｒ １＆Ｅ
１ （６） ～～Ｐ∨Ｒ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ→Ｒ ６含意の定義（は定理）。
２（８） ～Ｐ Ａ
１２（９） Ｑ ４８ＭＰＰ
１２（ア） Ｒ ７８ＭＰＰ
１２（イ） （Ｑ＆Ｒ） ９ア＆Ｉ
１ （ウ） ～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ） ８イＣＰ
１ （エ）～～Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ） ウ含意の定義（は定理）。
１ （オ） Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ） エＤＮ
（02）
１０個の原始的規則のみを用いて、つぎの連式を証明せよ（Using only 10 primitive rules, prove the following sequent）。
Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）┤├ （Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨Ｒ ２∨Ｉ
２ （５）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ） ３４＆Ｉ
６（６） Ｑ＆Ｒ Ａ
６（７） Ｑ ６＆Ｅ
６（８） Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
６（９） Ｒ ６＆Ｅ
６（ア） Ｐ∨Ｒ ９∨Ｉ
６（イ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ） ８ア＆Ｉ
１ （ウ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ） １２５６イ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ∨Ｑ １＆Ｅ
３ （３） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
３ （５） ～Ｐ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｐ＆～Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
３ （９） ～Ｑ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｐ Ａ
オ （オ） ～Ｑ Ａ
エオ （カ） ～Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ エオ （キ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） オカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｑ クＤＮ
１ （コ） ～Ｐ→Ｑ エケＣＰ
１ （サ） Ｐ∨Ｒ １＆Ｅ
シ （シ） ～Ｐ＆～Ｒ Ａ
ス （ス） Ｐ Ａ
シ （セ） ～Ｐ シ＆Ｅ
シス （ソ） Ｐ＆～Ｐ スセ＆Ｉ
ス （タ） ～（～Ｐ＆～Ｒ） シソＲＡＡ
チ （チ） Ｒ Ａ
シ （ツ） ～Ｒ シ＆Ｅ
シ チ （テ） Ｒ＆～Ｒ チツ＆Ｉ
チ （ト） ～（～Ｐ＆～Ｒ） シチＲＡＡ
１ （ナ） ～（～Ｐ＆～Ｒ） サスタチト∨Ｅ
ニ （ニ） ～Ｐ Ａ
ヌ （ヌ） ～Ｒ Ａ
ニヌ （ネ） ～Ｐ＆～Ｒ ニヌ＆Ｉ
１ ニヌ （ノ） ～（～Ｐ＆～Ｒ）＆
（～Ｐ＆～Ｒ） ナネ＆Ｉ
１ ニ （ハ） ～～Ｒ ヌノＲＡＡ
１ ニ （ヒ） Ｒ ハＤＮ
１ （フ） ～Ｐ→Ｒ ニヒＣＰ
ヘ （ヘ） ～Ｐ Ａ
１ ヘ （ホ） Ｑ コヘＭＰＰ
１ ヘ （マ） Ｒ フヘＭＰＰ
１ ヘ （ミ） Ｑ＆Ｒ ホマ＆Ｉ
１ （ム） ～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ） ヘミＣＰ
メ （メ） ～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝ Ａ
モ（モ） Ｐ Ａ
モ（ヤ） Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ） モ∨Ｉ
メモ（い） ～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝＆
｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝ メヤ＆Ｉ
メ （ユ） ～Ｐ モいＲＡＡ
１ メ （え） （Ｑ＆Ｒ） ムユＭＰＰ
１ メ （ヨ） Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ） え∨Ｉ
１ メ （ワ） ～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝＆
｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝ メえ＆Ｉ
１ （ヰ）～～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝ メワＲＡＡ
１ （う） Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ） ヰＤＮ
従って、
（01）（02）により、
（03）
「含意の定義」といふ「定理」を用ゐても、
「含意の定義」といふ「定理」を用ゐなくとも、「結論」として、
① Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② である（分配の法則Ⅱ）。
然るに、
（04）
① Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
といふ「論理式」を、「何秒か」見てゐれば、
① ～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ）
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→Ｒ）
といふ「同値変形（含意の定義）」に、気が付くことになるし、
① ～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ）
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→Ｒ）
といふ「論理式」からすれば、
①＝② である。
といふことは、「明白」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① ～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ）
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→Ｒ）
に於いて、
①＝② であることに、「気付く」ことが出来れば、
① Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② であることに、「気付く」ことが出来る。
然るに、
（06）
従って、
（06）により、
（07）
「真理値表（Truth table）」により、
① Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
に於いて、
① の「真理値」と、
② の「真理値」は、「等しく」、それ故、
①＝② である（分配の法則Ⅱ）。
然るに、
（08）
Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）┤├ （Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
といふ「連式（Sequent）」に対する、
「命題計算（propositional calculus）」による「証明」と、
「真理値表（Truth table）」による「証明」は、少しも、「似てゐない」。
従って、
（04）～（08）により、
（09）
「真理値表」に「習熟」した段階で、
① Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
②（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
といふ「論理式」を、「何秒か」見てゐれば、
① ～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ）
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→Ｒ）
といふ「同値変形（含意の定義）」に、気が付くことになり、
① ～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ）
②（～Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→Ｒ）
といふ「論理式」からすれば、
①＝② である。
といふことは、「明白」である。
といふことを、知るやうになるか、どうかは、私には、「不明」である。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ １＆Ｅ
１ （３） （Ｑ∨Ｒ） １＆Ｅ
４ （４） Ｑ Ａ
１４ （５） Ｐ＆Ｑ ２３＆Ｉ
１４ （６）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） ５∨Ｉ
７（７） Ｒ Ａ
１ ７（８） Ｐ＆Ｒ ２７＆Ｉ
１ ７（９）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） ８∨Ｉ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） ３４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
２ （４） Ｑ ２＆Ｅ
２ （５） Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
２ （６）Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） ３５＆Ｉ
７（７） Ｐ＆Ｒ Ａ
７（８） Ｐ ７＆Ｅ
７（９） Ｒ ７＆Ｅ
７（ア） Ｑ∨Ｒ ９∨Ｉ
７（イ） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） ８ア＆Ｉ
１ （ウ）Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） １２７６イ∨Ｅ
といふ「命題計算（propositional calculus）」は、概ね、
（ⅰ）
（１）「Ｐであって、その上（Ｑであるか、または、Ｒである）。」従って、
（２）「いづれにせよ、Ｐである。」従って、（１）（２）により、
（３）「ＰであってＱであるか、または、ＰであってＱである。」
（ⅱ）
（１）「ＰであってＱであるか、または、ＰであってＱである。」従って、
（２）「いづれにせよ、Ｐである。」従って、（１）（２）により、
（３）「Ｐであって、その上（Ｑであるか、または、Ｒである）。」
といふ「意味」である。
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、すなはち、
① Ｐであって、その上（Ｑであるか、または、Ｒである）。
② ＰであってＱであるか、または、ＰであってＲである。
に於いて、
①＝② である（分配法則）。
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ａ）「命題計算（propositional calculus）」は、
（ｂ）「自然言語（natural language）」に似てゐる。
然るに、
（04）
従って、
（04）により、
（05）
「真理値表（Truth table）」により、
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
① の「真理値」と、
② の「真理値」は、「等しく」、それ故、
①＝② である。
然るに、
（06）
（ａ）「命題計算（propositional calculus）」と、
（ｂ）「自然言語（natural language）」と、
（ｃ）「真理値表（Truth table）」と
比較すると、
（ａ）と（ｂ）が「似てゐる」のに対して、
（ａ）と（ｃ）は「似てゐない」。
（01）～（06）により、
（07）
（ａ）「命題計算」による「証明」は、「自然言語的」であるが、
（ｂ）「真理値表」による「証明」は、「自然言語的」ではない。