（828）（同一律∨Ｑ）⇔（矛盾→Ｑ）:「前件否定」の「誤謬」。

（01）
（ａ）「含意の定義」の証明は、　　　　（17）を参照せよ。
（ｂ）「ド・モルガンの法則」の証明は、（18）を参照せよ。
（02）
（ⅰ）
１　　（１）　（Ｐ→　Ｐ）∨Ｑ　Ａ
　２　（２）　　Ｐ→　Ｐ　　　　Ａ
　２　（３）　～Ｐ∨　Ｐ　　　　２含意の定義
　２　（４）～（Ｐ＆～Ｐ）　　　３ド・モルガンの法則
　２　（５）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　Ｑ　Ａ
　　６（７）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ　６∨Ｉ
１　　（８）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ　１２５６７∨Ｅ
１　　（９）　（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ　８含意の定義
（ⅱ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ　Ａ
１　　（２）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ　１含意の定義
　３　（３）～（Ｐ＆～Ｐ）　　　Ａ
　３　（４）　～Ｐ∨　Ｐ　　　　３ド・モルガンの法則
　３　（５）　　Ｐ→　Ｐ　　　　４含意の定義
　３　（６）　（Ｐ→　Ｐ）∨Ｑ　５∨I
　　７（７）　　　　　　　　Ｑ　Ａ
　　７（８）　（Ｐ→　Ｐ）∨Ｑ　７∨Ｉ
１　　（９）　（Ｐ→　Ｐ）∨Ｑ　２３６７８∨Ｉ
従って、
（02）により、
（03）
①（Ｐ→　Ｐ）∨Ｑ
②（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１（１）　Ｐ　　　　　　Ａ
　（２）　Ｐ→Ｐ　　　　１１ＣＰ
　（３）（Ｐ→Ｐ）∨Ｑ　２∨Ｉ
従って、
（04）により、
（05）
①（Ｐ→Ｐ）∨Ｑ
すなはち、
①（同一律）∨Ｑ
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①（Ｐ→　Ｐ）∨Ｑ
②（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
① は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
①（Ｐ→　Ｐ）∨Ｑ
②（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（07）により、
（08）
②（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
すなはち、
②（ 矛盾 ）→Ｑ
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（08）により、
（09）
②（矛盾）→Ｑ
すなはち、
②（ 偽 ）→Ｑ
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（09）により、
（10）
①（偽）→真
②（偽）→偽
に於いて、
① は「真」であって、
② も「真」である。
従って、
（10）により、
（11）
③ Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）
に於いて、
③「Ｐである」が「偽」であるならば、
③「Ｑである」は「偽」であるか、
③「Ｑである」は「真」であるかの、どちらかである。
従って、
（11）により、
（12）
③ Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）
に於いて、
③「Ｐである」が「偽」であるならば、従って、
③「Ｐでない」が「真」であるならば、
③「Ｑである」は「偽」であるか、
③「Ｑである」は「真」であるかの、どちらかである。
従って、
（12）により、
（13）
③ Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）
に於いて、
③「Ｐでない」が「真」であるならば、
③「Ｑである」が「偽」であるか、
③「Ｑである」が「真」であるかは、「不明」である。
従って、
（13）により、
（14）
（ⅰ）　Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）然るに、
（ⅱ）～Ｐ　　（Ｐでない。）　　　　　従って、
（ⅲ）　　～Ｑ（Ｑでない。）
といふ「推論」は、「妥当」ではなく、
このことを称して、「前件否定の誤謬（the fallacy of denying the antecedent）」と謂ふ。
従って、
（13）（14）により、
（15）
逆に言へば、「前件否定の誤謬（the fallacy of denying the antecedent）」を「誤謬」である。
と、認めるのであれば、そのときに限って、
③ Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）
に於いて、
③「Ｐでない」が「真」であるならば、
③「Ｑである」が「偽」であるか、
③「Ｑである」が「真」であるかは、「不明」である。
といふことを、認めなければ、ならない。
従って、
（15）により、
（16）
③ 象は動物である。然るに、兎は象ではない。故に、兎は動物ではない。
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ），∀（兎ｘ→～象ｘ）├ ∀（兎ｘ→～動物ｘ）
といふ「推論（連式）」を、「妥当」ではない。 とするのであれば、
③ Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）
に於いて、
③「Ｐでない」が「真」であるならば、
③「Ｑである」が「偽」であるか、
③「Ｑである」が「真」であるかは、「不明」である。
といふことを、認めなければ、ならない。
（17）
　―「含意の定義」の証明。―
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　イＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　　～Ｐ∨Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
（18）
　―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅰ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
（ⅱ）
１　　　（１）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ