（01）
１ （１） ～（□∨～□） Ａ
２ （２） □ Ａ
２ （３） □∨～□ ２∨Ｉ
１２ （４） ～（□∨～□）＆
（□∨～□） １３＆Ｉ
１ （５） ～□ ２４ＲＡＡ
１ （６） □∨～□ ５∨Ｉ
１ （７） ～（□∨～□）＆
（□∨～□） １６＆Ｉ
（８）～～（□∨～□） １７ＲＡＡ
（９） □∨～□ ８ＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① □∨～□
① □であるか、または、□ではない。
である所の「排中律」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）により、
（03）
② Ｐ→（排中律）
④ Ｑ→（排中律）
であれば、
② Ｐ→（真）
④ Ｑ→（真）
である。
然るに、
（04）
（ⅰ）真→（真）
（ⅱ）真→（偽）
（ⅲ）偽→（真）
（ⅳ）偽→（偽）
に於いて、
（ⅱ）以外は、３つとも、「真」である。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）真→（真）
（ⅲ）偽→（真）
は、両方とも、「真」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
② Ｐ→（排中律）
④ Ｑ→（排中律）
であれば、
② Ｐ→（真）
④ Ｑ→（真）
であって、
② Ｐ→（真）
④ Ｑ→（真）
であるならば、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
② Ｐ→（排中律）
④ Ｑ→（排中律）
に於いて、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
④ も、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｑ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ ∨Ｑ ４∨Ｉ
６（６） Ｑ Ａ
６（７）～Ｐ∨～Ｑ ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８）～Ｐ∨～Ｑ ∨Ｑ ２３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｑ） ８結合法則
１ （ア） Ｐ→（～Ｑ∨Ｑ） ９含意の定義
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→（～Ｑ∨Ｑ） Ａ
１ （２）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｑ） １含意の定義
１ （３）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｑ ２結合法則
４ （４）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
４ （５）～（Ｐ＆ Ｑ） ４ド・モルガンの法則
４ （６）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｑ ５∨Ｉ
７（７） Ｑ Ａ
７（８）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｑ ７∨Ｉ
１ （９）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｑ ３４６７８∨Ｅ
１ （ア） （Ｐ＆ Ｑ）→Ｑ ９含意の定義
（09）
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） Ａ
１ （２）～Ｐ∨（Ｑ→Ｐ） １含意の定義
３ （３）～Ｐ Ａ
３ （４）～Ｑ∨Ｐ∨～Ｐ ３∨Ｉ
５（５） （Ｑ→Ｐ） Ａ
５（６） ～Ｑ∨Ｐ ５含意の定義
５（７）～Ｑ∨Ｐ∨～Ｐ ６∨Ｉ
１ （８）～Ｑ∨Ｐ∨～Ｐ １３４５７∨Ｅ
１ （９）～Ｑ∨（Ｐ∨～Ｐ） ８結合法則
１ （ア） Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ） ９含意の定義
（ⅳ）
１ （１） Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
１ （２）～Ｑ∨（Ｐ∨～Ｐ） １含意の定義
１ （３）（～Ｑ∨Ｐ）∨～Ｐ ２結合法則
４ （４）（～Ｑ∨Ｐ） Ａ
４ （５） Ｑ→Ｐ ４含意の定義
４ （６）～Ｐ∨（Ｑ→Ｐ） ５∨Ｉ
７（７） ～Ｐ Ａ
７（８）～Ｐ∨（Ｑ→Ｐ） ７∨I
１ （９）～Ｐ∨（Ｑ→Ｐ） １４６７８∨Ｉ
１ （ア） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） ９含意の定義
従って、
（08）（09）により、
（10）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
② Ｐ→（～Ｑ∨Ｑ）
③ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
④ Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ）
に於いて
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（10）により、
（11）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
② Ｐ→（排中律）
③ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
④ Ｑ→（排中律）
に於いて
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（07）（11）により、
（12）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
③ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
に於いて、すなはち、
①（Ｐであって、Ｑである）ならば、Ｑである。
③ Ｐであるならば（Ｑであるならば、Ｐである）。
に於いて、すなはち、
①「連言除去の規則」
③「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
（ⅲ）
１（１） Ｐ Ａ
１（２）～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
（ⅳ）
１（１） Ｐ Ａ
１（２）～～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） ～Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４）Ｐ→（～Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
従って、
（13）により、
（14）
③ Ｐ→（ Ｑ→Ｐ）
④ Ｐ→（～Ｑ→Ｐ）
に於いて、
③ が、「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」であるならば、
④ も、「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
「番号」を付け直すとして、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
② Ｐ→（ Ｑ→Ｐ）
③ Ｐ→（～Ｑ→Ｐ）
に於いて、すなはち、
①（Ｐであって、Ｑである）ならば、Ｑである。
② Ｐであるならば（Ｑであるならば、Ｐである）。
③ Ｐであるならば（Ｑでないならば、Ｐである）。
に於いて、すなはち、
①「連言除去の規則」
②「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」
③「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② も、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（15）により、
（16）
①（Ｐであって、Ｑである）ならば、Ｑである。
② Ｐであるならば（Ｑであっても、Ｑでなくとも、Ｐである）。
に於いて、すなはち、
①「連言除去の規則」
②「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。