（01）
（ⅰ）
１ （１） ～∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
２ （２） ～∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
３（４） ∃ｘ（～Ｆｘ） ３ＥＩ
２３（５） ～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
∃ｘ（～Ｆｘ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｆａ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｆａ ６ＤＮ
２ （８） ∀ｘ（ Ｆｘ） ７ＵＩ
１２ （９） ～∀ｘ（ Ｆｘ）＆
∀ｘ（ Ｆｘ） １８＆Ｉ
１ （ア）～～∃ｘ（～Ｆｘ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∃ｘ（～Ｆｘ） アＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
２ （４） Ｆａ ２ＵＥ
２３（５） ～Ｆａ＆Ｆａ ３４＆Ｉ
３（６） ～∀ｘ（ Ｆｘ） ２５ＲＡＡ
１ （７） ～∀ｘ（ Ｆｘ） １３６ＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ～∀ｘ（ Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② である（量化子の関係）。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝ Ａ
２ （２） ～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝ Ａ
３ （３） ～Ｆａ Ａ
３ （４） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ３∨Ｉ
３ （５） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ４∨Ｉ
２３ （６） ～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝＆
｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝ ２５＆Ｉ
２ （７） ～～Ｆａ ３６ＲＡＡ
２ （８） Ｆａ ７ＤＮ
９ （９） ～Ｆｂ Ａ
９ （ア） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ９∨Ｉ
９ （イ） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｂ ア∨Ｉ
２ ９ （ウ） ～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝＆
｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝ ２イ＆Ｉ
２ （エ） ～～Ｆｂ ９ウＲＡＡ
２ （オ） Ｆｂ エＲＡＡ
カ（カ） ～Ｆｃ Ａ
カ（キ） ～Ｆｂ∨～Ｆｃ ∨Ｉ
カ（ク） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ キ∨Ｉ
２ カ（ケ） ～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝＆
｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝ ２ク＆Ｉ
２ （コ） ～～Ｆｃ カケＲＡＡ
２ （サ） Ｆｃ コＤＮ
２ （シ） Ｆａ＆Ｆｂ ８オ＆Ｉ
２ （ス） Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ サシ＆Ｉ
１２ （セ） ～｛Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ｝＆
｛Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ｝ １ス＆Ｉ
１ （ソ）～～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝ ２セＲＡＡ
１ （タ） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ソＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ Ａ
２ （２） Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ Ａ
１ （３） ～Ｆａ∨（～Ｆｂ∨～Ｆｃ） １結合法則
４ （４） ～Ｆａ Ａ
２ （５） Ｆａ ２＆Ｅ
２４ （６） ～Ｆａ＆Ｆａ ４５＆Ｉ
４ （７） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝ ２６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｆｂ∨～Ｆｃ） Ａ
９ （９） ～Ｆｂ Ａ
２ （ア） Ｆｂ ２＆Ｅ
２ ９ （イ） ～Ｆｂ＆Ｆｂ ９ア＆Ｉ
９ （ウ） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝ ２イＲＡＡ
エ（エ） ～Ｆｃ Ａ
２ （オ） Ｆｃ ２＆Ｅ
２ エ（カ） ～Ｆｃ＆Ｆｃ エオ＆Ｉ
エ（キ） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝ ２カＲＡＡ
８ （ク） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝ ８９ウエキ∨Ｅ
１ （ケ） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝ ３４７８９∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
① ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝
② ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
｛すべてのｘ｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
として、
① ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝
② ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
といふ「論理式」は、
① ～∀ｘ（ Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
といふ「述語論理式」に、等しい。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① ～∀ｘ（ Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② である（量化子の関係）といふことは、
① ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝
② ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）といふことに、他ならない。
然るに、
（07）
① ～∀ｘ（ Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
といふことは、
①（すべてのｘが、Ｆである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
といふ、ことである。
従って、
（06）（07）により、
（08）
①（すべてのｘが、Ｆである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。
といふことを、「（述語論理に於ける）ド・モルガンの法則」といふ。