(01)
1 (1) ~(□∨~□) A
2 (2) □ A
2 (3) □∨~□ 2∨I
12 (4) ~(□∨~□)&
(□∨~□) 13&I
1 (5) ~□ 24RAA
1 (6) □∨~□ 5∨I
1 (7) ~(□∨~□)&
(□∨~□) 16&I
(8)~~(□∨~□) 17RAA
(9) □∨~□ 8DN
従って、
(01)により、
(02)
① □∨~□
① □であるか、または、□ではない。
である所の「排中律」は、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(02)により、
(03)
② P→(排中律)
④ Q→(排中律)
であれば、
② P→(真)
④ Q→(真)
である。
然るに、
(04)
(ⅰ)真→(真)
(ⅱ)真→(偽)
(ⅲ)偽→(真)
(ⅳ)偽→(偽)
に於いて、
(ⅱ)以外は、3つとも、「真」である。
従って、
(04)により、
(05)
(ⅰ)真→(真)
(ⅲ)偽→(真)
は、両方とも、「真」である。
従って、
(03)(04)(05)により、
(06)
② P→(排中律)
④ Q→(排中律)
であれば、
② P→(真)
④ Q→(真)
であって、
② P→(真)
④ Q→(真)
であるならば、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(06)により、
(07)
② P→(排中律)
④ Q→(排中律)
に於いて、
② は、「恒真式(トートロジー)」であって、
④ も、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(08)
(ⅰ)
1 (1) (P&Q)→Q A
1 (2)~(P&Q)∨Q 1含意の定義
3 (3)~(P&Q) A
3 (4)~P∨~Q 3ド・モルガンの法則
3 (5)~P∨~Q ∨Q 4∨I
6(6) Q A
6(7)~P∨~Q ∨Q 6∨I
1 (8)~P∨~Q ∨Q 23567∨E
1 (9)~P∨(~Q∨Q) 8結合法則
1 (ア) P→(~Q∨Q) 9含意の定義
(ⅱ)
1 (1) P→(~Q∨Q) A
1 (2)~P∨(~Q∨Q) 1含意の定義
1 (3)(~P∨~Q)∨Q 2結合法則
4 (4)(~P∨~Q) A
4 (5)~(P& Q) 4ド・モルガンの法則
4 (6)~(P& Q)∨Q 5∨I
7(7) Q A
7(8)~(P& Q)∨Q 7∨I
1 (9)~(P& Q)∨Q 34678∨E
1 (ア) (P& Q)→Q 9含意の定義
(09)
(ⅲ)
1 (1) P→(Q→P) A
1 (2)~P∨(Q→P) 1含意の定義
3 (3)~P A
3 (4)~Q∨P∨~P 3∨I
5(5) (Q→P) A
5(6) ~Q∨P 5含意の定義
5(7)~Q∨P∨~P 6∨I
1 (8)~Q∨P∨~P 13457∨E
1 (9)~Q∨(P∨~P) 8結合法則
1 (ア) Q→(P∨~P) 9含意の定義
(ⅳ)
1 (1) Q→(P∨~P) A
1 (2)~Q∨(P∨~P) 1含意の定義
1 (3)(~Q∨P)∨~P 2結合法則
4 (4)(~Q∨P) A
4 (5) Q→P 4含意の定義
4 (6)~P∨(Q→P) 5∨I
7(7) ~P A
7(8)~P∨(Q→P) 7∨I
1 (9)~P∨(Q→P) 14678∨I
1 (ア) P→(Q→P) 9含意の定義
従って、
(08)(09)により、
(10)
①(P&Q)→Q
② P→(~Q∨Q)
③ P→(Q→P)
④ Q→(P∨~P)
に於いて
①=② であって、
③=④ である。
従って、
(10)により、
(11)
①(P&Q)→Q
② P→(排中律)
③ P→(Q→P)
④ Q→(排中律)
に於いて
①=② であって、
③=④ である。
従って、
(07)(11)により、
(12)
①(P&Q)→Q
③ P→(Q→P)
に於いて、すなはち、
①(Pであって、Qである)ならば、Qである。
③ Pであるならば(Qであるならば、Pである)。
に於いて、すなはち、
①「連言除去の規則」
③「ルカジェヴィッツの公理(Ⅰ)」
に於いて、
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、
③ も、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(13)
(ⅲ)
1(1) P A
1(2)~Q∨P 1∨I
1(3) Q→P 2含意の定義
(4) P→(Q→P) 13CP
(ⅳ)
1(1) P A
1(2)~~Q∨P 1∨I
1(3) ~Q→P 2含意の定義
(4)P→(~Q→P) 13CP
従って、
(13)により、
(14)
③ P→( Q→P)
④ P→(~Q→P)
に於いて、
③ が、「ルカジェヴィッツの公理(Ⅰ)」であるならば、
④ も、「ルカジェヴィッツの公理(Ⅰ)」である。
従って、
(12)(13)(14)により、
(15)
「番号」を付け直すとして、
①(P&Q)→Q
② P→( Q→P)
③ P→(~Q→P)
に於いて、すなはち、
①(Pであって、Qである)ならば、Qである。
② Pであるならば(Qであるならば、Pである)。
③ Pであるならば(Qでないならば、Pである)。
に於いて、すなはち、
①「連言除去の規則」
②「ルカジェヴィッツの公理(Ⅰ)」
③「ルカジェヴィッツの公理(Ⅰ)」
に於いて、
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、
② も、「恒真式(トートロジー)」であって、
③ も、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(15)により、
(16)
①(Pであって、Qである)ならば、Qである。
② Pであるならば(Qであっても、Qでなくとも、Pである)。
に於いて、すなはち、
①「連言除去の規則」
②「ルカジェヴィッツの公理(Ⅰ)」
に於いて、
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、
② も、「恒真式(トートロジー)」である。
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