（680）「パースの法則」は「排中律」を含んでゐる（Ⅱ）。

―「先程の記事（令和０２年０７月０６日）の記事」を書き直します。―
（01）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね（@gyu-don 2019年12月11日に更新）。
然るに、
（02）
（ⅰ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　～Ｑ　２＆Ｅ
１２（５）　　　　　Ｑ　１３ＭＰＰ
１２（６）　　～Ｑ＆Ｑ　４５＆Ｉ
１　（７）　　～Ｐ　　　３６ＲＡＡ
１　（８）　　～Ｐ∨Ｑ　８∨Ｉ
（ⅱ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　２７ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウ　（カ）　　　～～Ｑ　　エオＲＡＡ
１　　　ウ　（キ）　　　　　Ｑ　　カＤＮ
１　　　　　（ク）　　Ｐ→　Ｑ　　ウキＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② であって、「この等式」を、「含意の定義」といふ。
（04）
（ⅰ）
１　　（１）～（Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１２　（４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１３＆Ｉ
１　　（５）　～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ
　　６（６）　　　　Ｑ　　　Ａ
　　６（７）　　Ｐ∨Ｑ　　　６∨Ｉ
１　６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１６＆Ｉ
１　　（９）　　　～Ｑ　　　６８ＲＡＡ
１　　（ア）～Ｐ＆～Ｑ　　　５９＆Ｉ
（ⅱ）
１　　　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　　４　（４）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　４　（５）　　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　４　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１５ＲＡＡ
１　　　（７）　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
　　　８（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
１　　８（９）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２４６８ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～（　Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
① ～（Ｐ∨ Ｑ）
②　 ～Ｐ＆～Ｑ　
に於いて、
①＝② であって、「この等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。
（06）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　Ａ
１　　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　　　Ｑ∨Ｒ　　　　　１＆Ｅ
　４　（４）　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ
１４　（５）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　２４＆Ｉ
１４　（６）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　Ｒ　　　　　Ａ
１　７（８）　　　　　　　Ｐ＆Ｒ　　２７＆Ｉ
１　７（９）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　８∨Ｉ
１　　（ア）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　３４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　Ａ
　２　（２）（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　Ｑ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（５）　　　　Ｑ∨Ｒ　　　　　４∨Ｉ
　２　（６）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　３５＆Ｉ
　　７（７）　　　　　　（Ｐ＆Ｒ）　Ａ
　　７（８）　　　　　　　Ｐ　　　　７＆Ｅ
　　７（９）　　　　　　　　　Ｒ　　７＆Ｅ
　　７（ア）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　　９∨Ｉ
　　７（イ）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　８ア＆Ｉ
１　　（ウ）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　１２６７イＶＥ
従って、
（06）により、
（07）
①  Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② であって、「この等式」を、「分配法則」といふ。
（08）
（ⅰ）
１（１）Ｐ＆Ｐ　　　１
１（２）　　Ｐ　　　１＆Ｅ
　（３）Ｐ＆Ｐ→Ｐ　１２ＣＰ
（ⅱ）
１（１）Ｐ　　　　　１
１（２）Ｐ＆Ｐ　　　１１＆Ｉ
１（３）Ｐ→Ｐ＆Ｐ　１２ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）Ｐ∨Ｐ　　　Ａ
　２　（２）Ｐ　　　　　Ａ
　　３（３）　　Ｐ　　　Ａ
１　　（４）　　Ｐ　　　１２２３３∨Ｅ
　　　（５）Ｐ∨Ｐ→Ｐ　１４ＣＰ
（ⅳ）
１（１）Ｐ　　　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｐ　　　１∨Ｉ
　（３）Ｐ→Ｐ∨Ｐ　１２ＣＰ
従って、
（08）により、
（09）
① Ｐ＆Ｐ→Ｐ
② Ｐ→Ｐ＆Ｐ
③ Ｐ∨Ｐ→Ｐ
④ Ｐ→Ｐ∨Ｐ
に於いて、
①＝② であり、
③＝④ であり、「これらの等式」を、「冪等律」といふ。
然るに、
（10）
「結合法則」と、
「交換法則」は、
「命題論理」に於いても、「正しい」。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１　　（１）　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　Ａ
１　　（２）　　（（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１含意の定義
１　　（３）　（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ　２含意の定義
１　　（４）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨Ｐ　３含意の定義
　５　（５）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）　　　Ａ
　５　（６）～～（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ　　　　５ド・モルガンの法則
　５　（７）　　（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ　　　　６ＤＮ
　５　（８）　　　～Ｐ＆（～Ｐ∨Ｑ）　　　７交換法則
　５　（９）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ∨Ｑ）　８分配法則
　５　（ア）　　　　～Ｐ　∨（～Ｐ∨Ｑ）　９冪等律
　５　（イ）　（～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ））∨Ｐ　ア∨Ｉ
　　ウ（エ）　　　　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　ウ（オ）　（～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ））∨Ｐ　エ∨Ｉ
１　　（カ）　（～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ））∨Ｐ　４５イウオ∨Ｅ
１　　（キ）　Ｐ∨（～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ））　カ交換法則
１　　（ク）　Ｐ∨（～Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ　　　１結合法則
１　　（ケ）　Ｐ∨（～Ｐ）∨Ｑ　　　　　　ク冪等律
１　　（コ）（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ　　　　　　　ケ結合法則
（ⅱ）
１　　　　（１）（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ　　　　　　　　　Ａ
１　　　　（２）　Ｐ∨（～Ｐ）∨Ｑ　　　　　　　　１結合法則
１　　　　（３）　Ｐ∨（～Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ　　　　　２冪等律
１　　　　（４）（Ｐ∨～Ｐ）∨（～Ｐ∨Ｑ）　　　　Ａ
１　　　　（５）　Ｐ∨（～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ））　　　１結合法則　
１　　　　（６）（～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ））∨Ｐ　　　　２交換法則
　７　　　（７）　～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ）  　　　　　　Ａ
　　８　　（８）　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　８　　（９）　～Ｐ＆～Ｐ　　　　　　　　　　　８冪等律
　　８　　（ア）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ∨Ｑ）　　　９∨Ｉ
　　　イ　（イ）　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　　Ａ
　　　イ　（ウ）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ∨Ｑ）　　　イ∨Ｉ
　７　　　（エ）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ∨Ｑ）　　　７８アイウ∨Ｅ
　７　　　（オ）　　　　　～Ｐ＆（～Ｐ∨Ｑ）　　　エ分配法則
　７　　　（カ）　　　　（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ　　　　オ交換法則
　７　　　（キ）　　～～（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ　　　　カＤＮ
　７　　　（ク）　～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨～～Ｐ）　　キ、ド・モルガンの法則
　７　　　（ケ）　～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）　　　　クＤＮ
　７　　　（コ）　～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨Ｐ　　ケ∨Ｉ
　　　　サ（サ）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　　　サ（シ）　～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨Ｐ　　サ∨Ｉ
１　　　　（ス）　～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨Ｐ　　６７コサシ∨Ｅ
１　　　　（セ）　　（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ　　ス含意の定義
１　　　　（ソ）　　　（（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　　セ含意の定義
１　　　　（タ）　　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　　ソ含意の定義
従って、
（11）により、
（12）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ　
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（13）
②（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ　
に於いて、
②（Ｐ∨～Ｐ）
は、「排中律」である。
従って、
（01）（12）により、
（14）
① パースの法則
②（排中律）∨Ｑ　
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（15）
１　　　（１）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　Ａ
　　　　（２）　～（Ｐ＆～Ｐ）　　１１ＲＡＡ
　３　　（３）　～（Ｐ∨～Ｐ）　　Ａ
　　４　（４）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　４　（５）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　４∨Ｉ
　３４　（６）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　３５＆Ｉ
　３　　（７）　　～Ｐ　　　　　　４６ＲＡＡ
　　　８（８）　　　　　～Ｐ　　　Ａ
　　　８（９）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　８∨Ｉ
　３　８（ア）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　３９＆Ｉ
　３　　（イ）　　　　～～Ｐ　　　８アＲＡＡ
　３　　（ウ）　　　　　　Ｐ　　　イＤＮ
　３　　（オ）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　７ウ＆Ｉ
　３　　（カ）　～（Ｐ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｐ）　　２オ＆Ｉ
　　　　（キ）～～（Ｐ∨～Ｐ）　　３カＲＡＡ
　　　　（ク）　　（Ｐ∨～Ｐ）　　キＤＮ
従って、
（15）により、
（16）
① ～（Ｐ＆～Ｐ）は「矛盾律」であって、「恒真式（トートロジー）」である。
②　 （Ｐ∨～Ｐ）は「排中律」であって、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（17）
②（恒真式）∨Ｑ　
は、「全体としても、恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（12）（14）（17）により、
（18）
① パースの法則
②（排中律）∨Ｑ　
に於いて、すなはち、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ　
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、「両辺」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（19）
① パースの法則
②（排中律）∨Ｑ　
に於いて、
①＝② である。
といふことは、「パースの法則は、（排中律）を含んでゐる。」といふことに、他ならない。
然るに、
（20）
②（排中律）∨Ｑ　
は、「Ｑの真偽」に拘らず、「恒真式（トートロジー）」であるからこそ、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（21）
（ⅰ）
１　　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　２含意の定義
１２　　（４）　　　　　　　　Ｐ　　　１３ＭＰＰ
１　　　（５）　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ　　　２４ＣＰ
１　　　（６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　　　５含意の定義
　　７　（７）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　Ａ
　　７　（８）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　７ド・モルガンの法則
　　７　（９）　　Ｐ　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　ア（ア）　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　　（イ）　　Ｐ　　　　　　　　　６７９アア∨Ｅ
　　　　（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１イＣＰ
（ⅱ）
１　　　（１）　　（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　　Ｐ→～Ｑ　　　　　　２含意の定義
１２　　（４）　　　　　　　　　Ｐ　　　１３ＭＰＰ
１　　　（５）　（～Ｐ∨～Ｑ）→Ｐ　　　２４ＣＰ
１　　　（６）～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ　　　５含意の定義
　　７　（７）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　Ａ
　　７　（８）　　Ｐ＆～～Ｑ　　　　　　７ド・モルガンの法則
　　７　（９）　　Ｐ　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　　（イ）　　Ｐ　　　　　　　　　　６７９アア∨Ｅ
　　　　（ウ）（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１イＣＰ
従って、
（21）により、
（22）
①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「命題」、すなはち、
①（（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである。
②（（ＰならばＱでない）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「命題」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（23）
①（（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである。
②（（ＰならばＱでない）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「命題」の、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、
①（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと）Ｐなので）Ｐである。
といふことに、他ならない。
従って、
（18）（20）（23）により、
（24）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、
①（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと）Ｐなので）Ｐである。
といふ「当り前」のことを、述べてゐるに過ぎない。
然るに、
（25）
②（排中律）∨Ｑ　
③（排中律）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（18）（25）により、
（26）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ　
③（Ｐ∨～Ｐ）
に於いて、すなはち、
① パースの法則
②（排中律）∨Ｑ　
③（排中律）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（27）
（ⅲ）
１（１）Ｐ∨～Ｐ　Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｐ　１交換法則
１（３）　Ｐ→Ｐ　２含意の定義
（ⅳ）
１（１）　Ｐ→Ｐ　Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｐ　１含意の定義
従って、
（27）により、
（28）
③ Ｐ∨～Ｐ
④ Ｐ→　Ｐ
に於いて、すなはち、
③ 排中律
④ 同一律
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（26）（27）（28）により、
（29）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ　
③（Ｐ∨～Ｐ）
④（Ｐ→　Ｐ）
に於いて、すなはち、
① パースの法則
②（排中律）∨Ｑ　
③（排中律）
④（同一律）
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（01）（24）（29）により、
（30）
排中律と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
といふのであれば、
同一律と等価な命題のひとつで、変ではないものとして、パースの法則があります。
といふ、ことになる。