（01）
② 理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
②＝③ は、対偶（Contraposition）」である。
然るに、
（02）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 私が理事長です。
② 理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（03）により、
（04）
① 私が理事長です。
② 私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
① タゴール記念会は、私が理事長です。
② タゴール記念会は、私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）により、
（06）
① タゴール記念会は、私が理事長です。
② タゴール記念会は、私以外は理事長ではない。
に於いて、
タゴール記念会＝象
理事長＝鼻
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① 象は、鼻が長い。
② 象は、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
① 象は、鼻が長い。
② 象は、鼻以外は長くない。
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（08）
（ⅲ）
１ （１） ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） Ａ
２ （２） ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） Ａ
１ （３） ～鼻ａｘ→～長ａ １ＵＥ
４（４） ～鼻ａｘ＆ 長ａ Ａ
４（５） ～鼻ａｘ ４＆Ｅ
１ ４（６） ～長ａ ３５ＭＰＰ
４（７） 長ａ ４＆Ｅ
１ ４（８） ～長ａ＆長ａ ６７＆Ｉ
１２ （９） ～長ａ＆長ａ ２４８ＥＥ
１ （ア）～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） ２９ＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１）～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） Ａ
１ （２）∀ｚ～（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） １量化子の関係
１ （３） ～（～鼻ａｘ＆ 長ａ） ２ＵＥ
１ （４） 鼻ａｘ∨～長ａ ３ド・モルガンの法則
５ （５） 鼻ａｘ Ａ
５ （６） ～～鼻ａｘ ５ＤＮ
５ （７） ～～鼻ａｘ∨～長ａ ６∨Ｉ
８（８） ～長ａ Ａ
８（９） ～～鼻ａｘ∨～長ａ ８∨Ｉ
１ （ア） ～～鼻ａｘ∨～長ａ ４５７８９∨Ｉ
１ （イ） ～鼻ａｘ→～長ａ ア含意の定義
１ （ウ） ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） イＵＩ
従って、
（08）により、
（09）
③ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
④ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（07）（10）により、
（11）
① 象は、鼻が長い。
② 象は、鼻以外は長くない。
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
⑥ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、あるｚが、ｘの鼻ではなくて、長い、といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥ である。
然るに、
（12）
（ⅳ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） １ＵＥ
３（３） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） Ａ
３（４） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）］ ３ド・モルガンの法則
１３（５） ～象ａ ２４ＭＴＴ
１ （６） ［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）］→～象ａ ４５ＣＰ
１ （７）∀ｘ｛［～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）］→～象ｘ｝ ６ＵＩ
（ⅴ）
１ （１）∀ｘ｛［～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）］→～象ｘ｝ Ａ
１ （２） ［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）］→～象ａ １ＵＥ
３（３） 象ａ Ａ
３（４） ～～象ａ ３ＤＮ
１３（５） ～［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）］ ２４ＭＴＴ
１３（６） ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） ５ド・モルガンの法則
１ （７） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ３６ＣＰ
１ （８）∀ｘ｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）｝ ７ＵＩ
従って、
（12）により、
（13）
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
⑤ ∀ｘ｛［～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）］→～象ｘ｝
に於いて、
④＝⑤ は、「対偶」である。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
① 象は、鼻が長い。
② 象は、鼻以外は長くない。
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
⑤ ∀ｘ｛［～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）］→～象ｘ｝。
⑥ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
⑦ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、あるｚが、ｘの鼻ではなくて、長い、といふことはない。
⑧ すべてのｘについて、あるｙがｘの鼻であって、長い、といふことがないか、もしくは、あるｚはｘ鼻でなくて、長い、といふのであれば、ｘは象ではない。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥＝⑦＝⑧ である。
然るに、
（15）
⑤ ∀ｘ｛［～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）］→～象ｘ｝。⇔
⑧ すべてのｘについて、あるｙがｘの鼻であって、長い、といふことがないか、もしくは、あるｚはｘ鼻でなくて、長い、といふのであれば、ｘは象ではない。
といふことは、要するに、
（16）
（ⅰ）鼻が長くない。ならば、その動物は、象ではなく、
（ⅱ）鼻以外が長い。ならば、その動物は、象ではない。
といふ、ことである。
然るに、
（17）
（ⅰ）兎の鼻は長くない。
（ⅱ）兎の耳は鼻ではないが、長い。
従って、
（16）（17）により、
（18）
（ⅰ）鼻が長くないならば、その動物は、象ではない。然るに、兎の鼻は長くない。 従って、兎は象でない。
（ⅱ）鼻以外が長いならば、その動物は、象ではない。然るに、兎の耳は鼻ではないが、長い。従って、兎は象でない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（19）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） Ａ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （８） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ８＆Ｅ
ア （ア） 鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
ア （イ） 長ｂ ア＆Ｅ
６ （ウ） 兎ａ ６＆Ｅ
２ ６ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） ５ウＭＰＰ
オ（オ） 鼻ｂａ＆～長ｂ Ａ
オ（カ） ～長ｂ オ＆Ｅ
アオ（キ） 長ｂ＆～長ｂ イカ＆Ｉ
１ ６ オ（ク） 長ｂ＆～長ｂ ９アキＥＥ
１２ ６ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ エオクＥＥ
１２３ （コ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ケＥＥ
１２ （サ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３コＲＡＡ
１２ （シ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） サ量化子の関係
１２ （ス） ～（象ａ＆兎ａ） シＵＥ
１２ （セ） ～象ａ∨～兎ａ ス、ド・モルガンの法則
１２ （ソ） ～兎ａ∨～象ａ セ交換法則
１２ （タ） 兎ａ→～象ａ ソ含意の定義
１２ （チ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） タＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 タＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。 タＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （８） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ８＆Ｅ
ア （ア） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ア （イ） 長ｂ ア＆Ｅ
１ ６ （ウ） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ８＆Ｅ
１ ６ （エ） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆長ｚ） ウ量化子の関係
１ ６ （オ） ～（～鼻ｂａ＆長ｂ） エＵＥ
１ ６ （カ） ～～鼻ｂａ∨～長ｂ オ、ド・モルガンの法則
１ ６ （キ） ～鼻ｂａ→～長ｂ カ含意の定義
６ （ク） 兎ａ ６＆Ｅ
２ ６ （ケ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５クＭＰＰ
２ ６ （コ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ケ＆Ｅ
サ（サ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
サ（シ） 耳ｂａ サ＆Ｅ
２ ６ （ス） ∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ケ＆Ｅ
２ ６ （セ） ～耳ｂａ→～長ｂ＆耳ｂａ→～鼻ｂａ スＵＥ
２ ６ （ソ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ ス＆Ｅ
２ ６ サ（タ） ～鼻ｂａ シソＭＰＰ
１２ ６ サ（チ） ～長ｂ キタＭＰＰ
１２ ６アサ（ツ） 長ｂ＆～長ｂ イチ＆Ｉ
１２ ６ア （テ） 長ｂ＆～長ｂ コサツＥＥ
１２ ６ （ト） 長ｂ＆～長ｂ ９アテＥＥ
１２３ （ナ） 長ｂ＆～長ｂ ３６トＥＥ
１２ （ニ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ナＲＡＡ
１２ （ヌ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） ニ量化子の関係
１２ （ネ） ～（象ａ＆兎ａ） ヌＵＥ
１２ （ノ） ～象ａ∨～兎ａ ネ、ド・モルガンの法則
１２ （ハ） ～兎ａ∨～象ａ ノ交換法則
１２ （ヒ） 兎ａ→～象ａ ハ含意の定義
１２ （フ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） フＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 フＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。 フＵＩ
従って、
（14）～（19）により、
（20）
果たして、
（ⅰ）鼻が長くないならば、その動物は、象ではない。然るに、兎の鼻は長くない。 従って、兎は象でない。
（ⅱ）鼻以外が長いならば、その動物は、象ではない。然るに、兎の耳は鼻ではないが、長い。従って、兎は象でない。
といふ「推論」は、「述語論理（Predicate logic）」としても、「妥当」である。
従って、
（01）～（20）により、
（21）
① 象は、鼻が長い。⇔
② 象は、鼻以外は長くない。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
⑤ ∀ｘ｛［～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）］→～象ｘ｝。
といふ「等式」を、「否定」するのであれば、
（ⅰ）鼻が長くないならば、その動物は、象ではない。然るに、兎の鼻は長くない。 従って、兎は象でない。
（ⅱ）鼻以外が長いならば、その動物は、象ではない。然るに、兎の耳は鼻ではないが、長い。従って、兎は象でない。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（22）
（ⅰ）鼻が長くないならば、その動物は、象ではない。然るに、兎の鼻は長くない。 従って、兎は象でない。
（ⅱ）鼻以外が長いならば、その動物は、象ではない。然るに、兎の耳は鼻ではないが、長い。従って、兎は象でない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（21）（22）により、
（23）
① 象は、鼻が長い。⇔
② 象は、鼻以外は長くない。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
⑤ ∀ｘ｛［～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）］→～象ｘ｝。
といふ「等式」を、「否定」することは、出来ない。
然るに、
（24）
金谷先生謂二 主題一 曰、
象は、鼻が長い。
この文には主語が一つもない。日本語にそもそも主語など不要であるから当然と言えば当然だが、二重主語どころではないのだ。「象は」は「主題」であり、文がここで切れている。「象について話しますよ」聞き手の注意を引いておき、それに続く話し手のコメントが「鼻が長い」だ。
（金谷武洋、日本語文法の謎を解く、2003年、７９・８０頁）
然るに、
（25）
① 象は、鼻が長い。
② 象は、鼻以外は長くない。
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
⑤ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
⑥ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、あるｚが、ｘの鼻ではなくて、長い、といふことはない｝。
然るに、
（26）
⑤ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、
⑥ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、
といふことは、金谷先生が言ふやうに、確かに、「象について話しますよ」といふ「意味」である。
然るに、
（27）
⑦ 象は動物である。⇔
⑦ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）⇔
⑦ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
であっても、
⑦ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、
といふことは、この場合も、「象について話しますよ」といふ「意味」である。
然るに、
（28）
⑦ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
といふ「論理式」に於いて、
③ 動物ｘ＝∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
③ 動物ｘ＝∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
といふ「代入（Substitution）」を行った「結果（instances）」が、
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
といふ「論理式」である。
従って、
（24）～（28）により、
（29）
① 象は鼻が長い。
⑦ 象は動物である。
に於ける、
① 象は
⑦ 象は
に於いて、
①＝⑦ である。
従って、
（30）
⑦ 象は動物である。
に於ける、
⑦「象は」は、「主語」であると思ってゐる私からすれば、
① 象は鼻が長い。
に於ける、
①「象は」も、「主語」である。