（01）
∀ｘ（日ｘ）∨∀（男ｘ）├ ∀ｘ（日ｘ∨男ｘ）
といふ「連式（Sequent）」は、
① ∀ｘ（日ｘ）∨∀（男ｘ）
② ∀ｘ（日ｘ∨男ｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
といふ「意味」である。
然るに、
（02）
ｘの｛変域（ドメイン）｝が｛ａ、ｂ、ｃ｝であるとき、
① ∀ｘ（日ｘ）∨∀（男ｘ）
といふ「式」は、
①（日ａ＆日ｂ＆日ｃ）∨（男ａ＆男ｂ＆男ｃ）
といふ「式」に「等しい」。
（03）
ｘの｛変域（ドメイン）｝が｛ａ、ｂ、ｃ｝であるとき、
② ∀ｘ（日ｘ∨男ｘ）
といふ「式」は、
②（日ａ∨男ａ）＆（日ｂ∨ｂ）＆（日ｃ∨男ｃ）
といふ「式」に「等しい」。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
∀ｘ（日ｘ）∨∀（男ｘ）├ ∀ｘ（日ｘ∨男ｘ）
といふ「連式（Sequent）」は、
①（日ａ＆日ｂ＆日ｃ）∨（男ａ＆男ｂ＆男ｃ）
②（日ａ∨男ａ）＆（日ｂ∨男ｂ）＆（日ｃ∨男ｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
といふ「意味」である。
然るに、
（05）
日ａ＝（ａは日本人である。）
日ｂ＝（ｂは日本人である。）
日ｃ＝（ｃは日本人である。）
とする。
従って、
（04）（05）により、
（06）
∀ｘ（日ｘ）∨∀（男ｘ）├ ∀ｘ（日ｘ∨男ｘ）
といふ「連式（Sequent）」は、
①（ａは日本人である。＆ｂは日本人である。＆ｃは日本人である。）∨（ａは男性である。＆ｂは男性である。＆ｃは男性である。）
②（ａは日本人である。∨ａは男性である。）＆（ｂは日本人である。∨ｂは男性である。）＆（ｃは日本人である。∨ｃは男性である。）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
といふ「意味」である。
然るに、
（07）
＆＝そして、
∨＝または、
従って、
（06）（07）により、
（08）
∀ｘ（日ｘ）∨∀（男ｘ）├ ∀ｘ（日ｘ∨男ｘ）
といふ「連式（Sequent）」は、
①（ａは日本人である。そして、ｂは日本人である。そして、ｃは日本人である。）または、（ａは男性である。そして、ｂは男性である。そして、ｃは男性である。）
②（ａは日本人である。または、ａは男性である。）そして、（ｂは日本人である。または、ｂは男性である。）そして、（ｃは日本人である。または、ｃは男性である。）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
といふ「意味」である。
然るに、
（08）により、
（09）
①（ａは日本人である。そして、ｂは日本人である。そして、ｃは日本人である。）
といふのであれば、
① ａは日本人である。
① ｂは日本人である。
① ｃは日本人である。
然るに、
（10）
① ａは日本人である。
① ｂは日本人である。
① ｃは日本人である。
といふのであれば、
① ａは日本人であるか、または、ａは男性である。
① ｂは日本人であるか、または、ｂは男性である。
① ｃは日本人であるか、または、ｂは男性である。
然るに、
（11）
① ａは日本人であるか、または、ａは男性である。
① ｂは日本人であるか、または、ｂは男性である。
① ｃは日本人であるか、または、ｂは男性である。
といふのであれば、
②（ａは日本人である。または、ａは男性である。）そして、（ｂは日本人である。または、ｂは男性である。）そして、（ｃは日本人である。または、ｃは男性である。）
然るに、
（12）
①（ａは男性である。そして、ｂは男性である。そして、ｃは男性である。）
といふのであれば、
① ａは男性である。
① ｂは男性である。
① ｃは男性である。
然るに、
（13）
① ａは男性である。
① ｂは男性である。
① ｃは男性である。
といふのであれば、
① ａは男性であるか、または、ａは日本人である。
① ｂは男性であるか、または、ｂは日本人である。
① ｃは男性であるか、または、ｂは日本人である。
然るに、
（14）
① ａは男性であるか、または、ａは日本人である。
① ｂは男性であるか、または、ｂは日本人である。
① ｃは男性であるか、または、ｂは日本人である。
といふのであれば、
②（ａは日本人である。または、ａは男性である。）そして、（ｂは日本人である。または、ｂは男性である。）そして、（ｃは日本人である。または、ｃは男性である。）
従って、
（08）～（14）により、
（15）
①（ａは日本人である。そして、ｂは日本人である。そして、ｃは日本人である。）または、（ａは男性である。そして、ｂは男性である。そして、ｃは男性である。）
②（ａは日本人である。または、ａは男性である。）そして、（ｂは日本人である。または、ｂは男性である。）そして、（ｃは日本人である。または、ｃは男性である。）
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（16）
②（ａは日本人である。または、ａは男性である。）そして、（ｂは日本人である。または、ｂは男性である。）そして、（ｃは日本人である。または、ｃは男性である。）
といふのであれば、
② ａは日本人であるが、女性であるかも、知れない。
② ｂは米国人であって、男性であるかも、知れない。
② ｃは英国人であって、男性であるかも、知れない。
然るに、
（17）
② ａは日本人であるが、女性であるかも、知れない。
② ｂは米国人であって、男性であるかも、知れない。
② ｃは英国人であって、男性であるかも、知れない。
といふのであれば、
①（ａは日本人である。そして、ｂは日本人である。そして、ｃは日本人である。）または、（ａは男性である。そして、ｂは男性である。そして、ｃは男性である。）
といふことには、ならない。
従って、
（16）（17）により、
（18）
①（ａは日本人である。そして、ｂは日本人である。そして、ｃは日本人である。）または、（ａは男性である。そして、ｂは男性である。そして、ｃは男性である。）
②（ａは日本人である。または、ａは男性である。）そして、（ｂは日本人である。または、ｂは男性である。）そして、（ｃは日本人である。または、ｃは男性である。）
に於いて、
② ならば、② である。とは、限らない。
従って、
（06）（15）（18）により、
（19）
∀ｘ（日ｘ）∨∀（男ｘ）├ ∀ｘ（日ｘ∨男ｘ）
といふ「連式（Sequent）」は、
①（ａは日本人である。そして、ｂは日本人である。そして、ｃは日本人である。）または、（ａは男性である。そして、ｂは男性である。そして、ｃは男性である。）
②（ａは日本人である。または、ａは男性である。）そして、（ｂは日本人である。または、ｂは男性である。）そして、（ｃは日本人である。または、ｃは男性である。）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
といふ「意味」であって、尚且つ、そのことは、「正しい」。
然るに、
（20）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ日ｘ∨∀ｘ男ｘ Ａ
２ （２） ∀ｘ日ｘ Ａ
２ （３） 日ａ ２ＵＥ
２ （４） 日ａ∨男ａ ３∨Ｉ
２ （５）∀ｘ（日ｘ∨男ｘ） ４ＵＩ
６（６） ∀ｘ男ｘ Ａ
６（７） 男ａ ６ＵＥ
６（８） 日ａ∨男ａ ７∨Ｉ
６（９）∀ｘ（日ｘ∨男ｘ） ８ＵＩ
１ （ア）∀ｘ（日ｘ∨男ｘ） １２５６９ＥＥ
従って、
（20）により、
（21）
① ∀ｘ日ｘ∨∀ｘ男ｘ├ ∀ｘ（日ｘ∨男ｘ）
といふ「連式（Sequent）」は「妥当」である。
然るに、
（22）
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（日ｘ∨男ｘ） Ａ
１ （２） 日ａ∨男ａ １ＵＥ
３ （３） 日ａ Ａ
３ （４） ∀ｘ日ｘ ３ＵＩ
３ （５）∀ｘ日ｘ∨∀ｘ男ｘ ４∨Ｉ
６（６） 男ａ Ａ
６（７） ∀ｘ男ｘ ６ＵＩ
６（８）∀ｘ日ｘ∨∀ｘ男ｘ ８∨Ｉ
１ （９）∀ｘ日ｘ∨∀ｘ男ｘ ２３５６８∨Ｅ
といふ「計算」に於いて、
３ （３） 日ａ Ａ
６（６） 男ａ Ａ
であって、
１ （３） 日ａ Ａ
１ （６） 男ａ Ａ
ではないが故に、
１ （９）∀ｘ日ｘ＆∀ｘ男ｘ １１７１８∨Ｅ
といふ「結論」は、「マチガイ」である。
（23）
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（日ｘ∨男ｘ） Ａ
１ （２） 日ａ∨男ａ １ＵＥ
３ （３） 日ａ Ａ
までは、「正しい」。
然るに、
（24）
１ （２） 日ａ∨男ａ １ＵＥ
といふ「行」は、
１により、（２）「日ａ（ａは日本人である。）」か、
「男ａ（ａは男性である。）」の内の、少なくとも、一方は、「真（本当）」である。
といふ「意味」である。
然るに、
（25）
３ （３） 日ａ Ａ
といふ「行」は、
３により、（３）「日ａ（ａは日本人である。）」と「仮定」する。
といふ「意味」である。
然るに、
（26）
３ （４） ∀ｘ日ｘ ３ＵＩ
といふ「行」は、
３により、（５）「すべてのｘ（人）は日本人である。」
といふ「意味」である。
然るに、
（27）
「ａさん一人が、日本人である。」からと言って、
「すべての人が、日本人である。」とは、言へない。
従って、
（23）～（27）により、
（28）
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（日ｘ∨男ｘ） Ａ
１ （２） 日ａ∨男ａ １ＵＥ
３ （３） 日ａ Ａ
までは、「正しい」が、
３ （４） ∀ｘ日ｘ ３ＵＩ
に至って、「マチガイ」になる。
（29）
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ（日ｘ∨男ｘ） Ａ
２ （２） 日ａ∨男ａ Ａ
３（３） 日ａ Ａ
３（４） ∀ｘ日ｘ ３ＵＩ
とすれば、この場合も、「そして第１の選言項Ｆａを（３）の行に仮定する。しかし（３）は「ａ」を含む故、∀ｘ日ｘを結論することをさしとめられる（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１５６頁改）。」
（30）
ｘの｛変域（ドメイン）｝が｛ａ、ｂ、ｃ｝であるとき、
③ ∃ｘ（日ｘ∨男ｘ）
といふ「式」は、
③（日ａ∨男ａ）∨（日ｂ∨男ｂ）∨（日ｃ∨男）
といふ「式」に「等しく」、
③（日ａ∨男ａ）∨（日ｂ∨男ｂ）∨（日ｃ∨男）
といふ「式」は、
③（日ａ∨日ｂ∨日ｃ∨男ａ∨男ｂ∨男ｃ）
といふ「式」に、「等しい」。
然るに、
（31）
③（日ａ∨日ｂ∨日ｃ∨男ａ∨男ｂ∨男ｃ）
といふ「式」からは、
③ ∀ｘ日ｘ＝（日ａ＆日ｂ＆日ｃ）＝（すべての人は、日本人である。）
とは、言へない。