（1293）「象は鼻が長い」の「述語論理」の「解説」。

（01）
「象は鼻が長い。」という文の主語に関する話題です。皆様はいかがお考えでしょうか、この文の主語は「象」だと思われますか、「鼻」だと思われますか。非常に簡単な文ではあるのですが、実はこの文は大正時代から文法的な論争が繰り返されていて、現時点でも明確な結論が出ていない問題なのです。歴史で邪馬台国のあった場所が「畿内説」「九州説」に分かれて議論が繰り返されているのと同じような印象を持っています（象は鼻が長い - 早稲田アカデミー）。
然るに、
（02）
　― 何年もの間、繰り返し書いてゐるものの、―
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
（３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）
といふ「論理式（Well formed formulae）」は、「日本語」に「翻訳」すると、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
（２）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの鼻ではなくて、ｚは長い）｝。
（３）　　あるｘについて（ｘは象であって、ｘは兎である）。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
次の「計算（Predicate calculus）」は、「妥当」である。
１　　　　　　　（１）　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　２　　　　　　（２）　∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　　　　　　　　Ａ
　　３　　　　　（３）　∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　　　（４）　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　　　　　（５）　　　　兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　　６　　　　（６）　　　　象ａ＆兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　　　　（７）　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　　　　（８）　　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４７ＭＰＰ
１　　６　　　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　９ＵＩ
　２　６　　　　（イ）　　　　　　　∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　５８ＭＰＰ
　　　　ウ　　　（ウ）　　　　　　　　　　耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ウ　　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　　　　ウ　　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
１　　６ウ　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　アエＭＰＰ
１　　６ウ　　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　オカ＆Ｉ
１２　６　　　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　イウキＥＥ
１２３　　　　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　３６クＥＥ
１２　　　　　　（コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３ケＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１　　　　（１）～∃ｘ（象ｘ＆　兎ｘ）　　Ａ
　２　　　（２）　　　　象ａ＆　兎ａ　　　Ａ
　２　　　（３）　∃ｘ（象ｘ＆　兎ｘ）　　２ＥＩ
１２　　　（４）～∃ｘ（象ｘ＆　兎ｘ）＆
　　　　　　　　　∃ｘ（象ｘ＆　兎ｘ）　　１３＆Ｉ
１　　　　（５）　　～（象ａ＆　兎ａ）　　２４ＲＡＡ
　　６　　（６）　　　　象ａ　　　　　　　Ａ
　　　７　（７）　　　　　　　　兎ａ　　　Ａ
　　６７　（８）　　　　象ａ＆　兎ａ　　　６７＆Ｉ
１　６７　（９）　　～（象ａ＆　兎ａ）＆
　　　　　　　　　　　（象ａ＆　兎ａ）　　５８＆Ｉ
１　６　　（ア）　　　　　　　～兎ａ　　　７９ＲＡＡ
１　　　　（イ）　　　　象ａ→～兎ａ　　　６アＣＰ
１　　　　（ウ）　∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）　　１ＵＩ
（ⅱ）
１　　　　（１）　∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　Ａ
　２　　　（２）　∃ｘ（象ｘ＆　兎ｘ）　　Ａ
１　　　　（３）　　　　兎ａ→～象ａ　　　１ＵＥ
　　４　　（４）　　　　象ａ＆　兎ａ　　　Ａ
　　４　　（５）　　　　　　　　兎ａ　　　４＆Ｅ
１　４　　（６）　　　　　　　～象ａ　　　３５ＭＰＰ
　　４　　（７）　　　　象ａ　　　　　　　４＆Ｅ
１　４　　（８）　　　　象ａ＆～象ａ　　　６７＆Ｉ
　　４　　（９）～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　１８ＲＡＡ
　２　　　（ア）～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　２４９ＥＥ
１２　　　（イ）　∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）＆
　　　　　　　　～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　１ア＆Ｉ
１　　　　（ウ）～∃ｘ（象ｘ＆　兎ｘ）　　２イＲＡＡ
従って、
（05）により、
（06）
① ～∃ｘ（象ｘ＆　兎ｘ）
② 　∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）
に於いて、すなはち、
① （象であって、兎であるといふ、そのやうなｘ）は存在しない。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）～（06）により、
（07）
１　　　　　　（１）　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　２　　　　　（２）　∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　　　　　　　　Ａ
　　３　　　　（３）　∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　　（４）　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　　　　（５）　　　　兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　　６　　　（６）　　　　象ａ＆兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　　　（７）　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　　　（８）　　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４７ＭＰＰ
１　　６　　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　９ＵＩ
　２　６　　　（イ）　　　　　　　∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　５８ＭＰＰ
　　　　ウ　　（ウ）　　　　　　　　　　耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ウ　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　　　　ウ　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
１　　６ウ　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　アエＭＰＰ
１　　６ウ　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　オカ＆Ｉ
１２　６　　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　イウキＥＥ
１２３　　　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　３６クＥＥ
１２　　　　　（コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３ケＲＡＡ
１２　　　　　（サ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　コ量化子の関係
１２　　　　　（シ）　　～（象ａ＆兎ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　サＵＥ
　　　　　ス　（ス）　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　セ（セ）　　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　スセ（ソ）　　　　象ａ＆兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　スセ＆Ｉ
１２　　　スセ（タ）　　～（象ａ＆兎ａ）＆（象ａ＆兎ａ）　　　　　　　　　　　　　　シソ＆Ｉ
１２　　　ス　（チ）　　　　　　～兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　セタＲＡＡ
１２　　　　　（ツ）　　　象ａ→～兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　スチＣＰ
１２　　　　　（テ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツＵＩ
といふ『計算（Predicate calculus）』は、「妥当」であるものの、この『計算』を、『計算（07）』とする。
従って、
（07）により、
（08）
（１）象は鼻が長い。
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。
（３）象は兎ではない。
といふ「日本語」が、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
（３）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）
といふ「意味」、すなはち、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
（２）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの鼻ではないが、ｚは長い）｝。
（３）すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「意味」であるならば、そのときに限って、
（１）象は鼻が長い。　　　　　　然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（09）
沢田充茂の『現代論理学入門』（一九六ニ年）には楽しい解説が載っています。
・・・・・・たとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか、鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理的構造が明示されていない。いわば非論理的な文章である、というひともある。しかしこの文の論理的な構造をはっきりと文章にあらわして「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」といえば・・・・・・たとえば動物園で象をはじめて見た小学生が、父親にむかってこのような文章で話しかけたとすれば、その子供は論理的であるといって感心されるまえに社会人としての常識をうたがわれるにきまっている。常識（すなはち共通にもっている情報）でわかっているものはいちいち言明の中にいれないで、いわば暗黙の了解事項として、省略し、できるだけ短い記号の組み合せで、できるだけ多くの情報を伝えることが日常言語の合理性の一つである。・・・・・・
（山崎紀美子、日本語基礎講座―三上文法入門、2003年、２１４頁）
然るに、
（09）により、
（10）
（１）すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い。
といふことは、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。
といふことであり、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。
といふことは、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
といふ「論理式」に相当し、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「論理式」には、相当しない。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
沢田先生による、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』は、
（１）が「誤訳」であるが故に、「妥当」ではなく、
私による、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』こそが、「妥当」である。
従って、
（07）（11）により、
（12）
沢田先生が、
（１）象は鼻が長い。　　　　　　然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』を「妥当」とするのであれば、沢田先生は、
（１）象は鼻が長い。
といふ「日本語」を、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ風に、「翻訳」せざるを得ない。
然るに、
（07）（12）により、
（13）
（１）象は鼻が長い。　　　　　　然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』が「妥当」でないはずが無いし、『計算（07）』も「妥当」でないはずが無い。
従って、
（02）～（13）により、
（14）
① 象は鼻が長い。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
④ 象は兎ではない。
⑤ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
⑥ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
に於いて、
④＝⑤＝⑥ である。
従って、
（14）により、
（15）
① 象は鼻が長い。
④ 象は兎ではない。
に於ける、
① 象は
④ 象は
は、両方とも、
② ∀ｘ｛象ｘ→
⑤ ∀ｘ（象ｘ→
といふ「意味」、すなはち、
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、
⑥ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、
といふ「意味」になる。
然るに、
（16）
② ∀ｘ｛象ｘ→Ｐ｝
⑤ ∀ｘ（象ｘ→Ｑ｝
といふ「論理式」は、「形式として、正しい」。
然るに、
（17）
② ∀ｘ｛象ｘ→Ｐ｝
⑤ ∀ｘ（象ｘ→Ｑ｝
に於いて、
② Ｐ＝∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
⑤ Ｑ＝～兎ｘ
といふ「代入（substitution）」を行った「結果」が、それぞれ、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
⑤ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
である、といふ風に、「解すること」が出来る。
然るに、
（18）
これに対して三上は、日本語には主語はない、とする。「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する（この場合は「長い」までをスコープとする）〔三上文法！ : wrong, rogue and log〕。
（19）
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、
⑥ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、
といふ「言ひ方」は、
③ これから象についてのことを述べますよ。
⑥ これから象についてのことを述べますよ。
といふ「言ひ方」に、「ほとんど、等しい」。
然るに、
（20）
一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。すなわち、数学の命題は一階述語論理の論理式によって記述することができ、そのように論理式で記述された数学の定理には ZFC の公理からの形式的証明 (formal proof) が存在する。このことが一階述語論理が重要視される理由の一つである。この他にペアノ算術のように単独で形式化する理論もある（ウィキペディア）。
従って、
（14）～（20）により、
（21）
「英語」ではなく、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
⑤ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「数学語（普遍語）」を「基準」にするならば、
① 象は鼻が長い。
④ 象は兎ではない。
に於ける、
① 象は
④ 象は
に、「区別」は無い。
従って、
（01）（21）により、
（22）
「常識（習慣）」として、
④ 象は兎ではない。
に於ける「象は」が、「主語」であるならば、
① 象は鼻が長い。
に於ける「象は」も、「主語」である。