（01）
１ （１） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ） Ａ
２ （２）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ） Ａ
３ （３） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ） Ａ
１ （４） Ｋａ→ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ １ＵＥ
２ （５）∀ｘ～（～Ｋｘ＆Ｓｘ） ２量化子の関係
２ （６） ～（～Ｋａ＆Ｓａ） １ＵＥ
７ （７） ～Ｋａ Ａ
８ （８） Ｓａ Ａ
７８ （９） ～Ｋａ＆Ｓａ ７８＆Ｉ
２ ７８ （ア） ～（～Ｋａ＆Ｓａ）＆
（～Ｋａ＆Ｓａ） ６９＆Ｉ
２ ７ （イ） ～Ｓａ ８アＲＡＡ
２ （ウ） ～Ｋａ→～Ｓａ ７イＣＰ
エ （エ） ａ＝ｊ＆ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ Ａ
エ （オ） ａ＝ｊ エ＆Ｅ
エ （カ） ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ エ＆Ｅ
キ （キ） ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ Ａ
ク （ク） ａ＝ｓ Ａ
エ （ケ） ａ≠ｓ カ＆Ｅ
エ ク （コ） ａ＝ｓ＆ａ≠ｓ クケ＆Ｉ
ク （サ） ～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） エコＲＡＡ
シ（シ） ａ＝ｇ Ａ
エ （ス） ａ≠ｇ カ＆Ｅ
エ シ（セ） ａ＝ｇ＆ａ≠ｇ シス＆Ｉ
シ（ソ） ～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） エシＲＡＡ
キ （タ） ～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） キクサシソ∨Ｅ
エキ （チ） （ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ）＆
～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） カタ＆I
エ （ツ） ～（ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ） キチＲＡＡ
３ （テ） ～（ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ） ３エツＥＥ
１ ３ （ト） ～Ｋａ ４テＭＴＴ
１２３ （ナ） ～Ｓａ ウトＭＰＰ
１２３エ （ニ） ａ＝ｊ＆～Ｓａ オナ＆Ｉ
１２３エ （ヌ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ） ニＥＩ
１２３ （ネ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ） ３エヌＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ）
（ⅳ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ）
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘがＫをするならば、ｘはｓであるか、または、ｘはｇである）。然るに、
（ⅱ）あるｘが（Ｋをせずに、Ｓをする）といふことは無い。然るに、
（ⅲ）あるｘは（ｊであって、ｓではないし、ｇでもない）。従って、
（ⅳ）あるｘは（ｊであって、ｘはＳをしない）。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（03）
Ｋ＝合言葉を知ってゐた。
Ｓ＝銃を盗んだ。
ｊ＝ジャック。
ｓ＝スミス。
ｇ＝門衛。
であるとする。
従って、
（02）（03）により、
（04）
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが合言葉を知ってゐたならば、ｘはスミスであるか、または、ｘは門衛である）。然るに、
（ⅱ）あるｘが（合言葉を知らずに、銃を盗んだ）といふことは有り得無い。然るに、
（ⅲ）あるｘは（ジャックであって、スミスではないし、門衛でもない）。 従って、
（ⅳ）あるｘは（ジャックであって、ｘは銃を盗んでゐない）。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）スミスと門衛のみがが合言葉を知ってゐた。然るに、
（ⅱ）合言葉を知らない者が銃を盗んだといふことは、有り得ない。然るに、
（ⅲ）ジャックはスミスではないし、門衛でもない。従って、
（ⅳ）ジャックは銃を盗んではゐない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）（05）により、
（06）
（ⅰ）スミスと門衛のみがが合言葉を知ってゐた。然るに、
（ⅱ）合言葉を知らない者が銃を盗んだといふことは、有り得ない。然るに、
（ⅲ）ジャックはスミスではないし、門衛でもない。従って、
（ⅳ）ジャックは銃を盗んではゐない。
といふ「推論」は「妥当」であるといふことは、
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ）
（ⅳ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ）
といふ「述語論理式」によって、「証明」出来る。
然るに、
（07）
「述語論理」は「命題論理」の「拡大（enlargement）」であって、それ故、
「命題論理」の「記号」だけを使って、
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ）
（ⅳ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ）
といふ「論理式（Well formed formulae）」を書くことは出来ない。
従って、
（06）（07）により、
（08）
「命題論理」によって、
（ⅰ）スミスと門衛のみがが合言葉を知ってゐた。然るに、
（ⅱ）合言葉を知らない者が銃を盗んだといふことは、有り得ない。然るに、
（ⅲ）ジャックはスミスではないし、門衛でもない。従って、
（ⅳ）ジャックは銃を盗んではゐない。
といふ「推論の妥当性」を「証明」することは、「出来ない」。
因みに、
（09）
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。然るに、
（ⅱ）花子は象である。従って、
（ⅲ）花子は動物である。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）象は動物である。然るに、
（ⅱ）花子は象である。従って、
（ⅲ）花子は動物である。
といふ「推論の妥当性」も、「命題論理」では、「証明出来ない」。
然るに、
（10）
その一方で、「述語論理（の表現力）」に関しては、
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。そこに含まれている仕事は翻訳の仕事に違いないけれども、しかしそこへ翻訳が行われる形式言語は、自然言語のシンタックスとは幾らか違ったシンタックスをもっており、また限られた術語―論理的結合記号、変数、固有名、述語文字、および２つの量記号―しかももたない。その言語のおもな長所は、記法上の制限にもかかわらず、非常に広範な表現能力をもっていることである（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）。
Flexibility of mind is generally required for translating from ordinary speech into sentences of the predicate calculus. No firm rules can be given, and practice is needed before full familiarity with quantifiers is reached. The activity involved is one of translation; but the formal language into which translation is being made has a rather different from that of a natural language，and has only a narrow terminology―logical connectives, variables, proper names, predicate-letters, and two quantifiers. The chief merit of the language is that, despite its notational limitations, it has a very wide expressive power（E.J.Lemmon, Beginning Logic, First published in Great Britain 1965）.
との、ことである。
（01）
さて次の論証を考えてみよう（これはQuine〔17〕の翻案である）。
（ⅰ）スミスと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）故に、スミスかあるいはその門衛が銃を盗んだ。
これは明らかに健全である。
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０９頁改）
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない（アリバイが有る）。
（ⅳ）従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」も、明らかに、健全である。
然るに、
（03）
Ｋ＝合言葉を知ってゐた。
Ｓ＝銃を盗んだ。
ｓ＝スミス。
ｊ＝ジョンソン。
ｇ＝門衛。
とする。
然るに、
（04）
１ （１）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ） Ａ
２ （２）∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ） Ａ
３ （３） ～Ｓｓ＆～Ｓｊ Ａ
４ （４） Ｋａ＆Ｓａ Ａ
４ （５） Ｋａ ４＆Ｅ
４ （６） Ｓａ ４＆Ｅ
１ （７） Ｋａ→ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ ∨ａ＝ｇ １ＵＥ
１ ４ （８） ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ ∨ａ＝ｇ ５７ＭＰＰ
１ ４ （９） （ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ）∨ａ＝ｇ ８結合法則
ア （ア） （ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ） Ａ
イ （イ） ａ＝ｓ Ａ
４ イ （ウ） Ｓｓ ６イ＝Ｅ
４ イ （エ） Ｓｓ∨Ｓｊ ウ∨Ｉ
４ イ （オ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ エ∨Ｉ
カ （カ） ａ＝ｊ Ａ
４ カ （キ） Ｓｊ ６カ＝Ｅ
４ カ （ク） Ｓｓ∨Ｓｊ キ∨Ｉ
４ カ （ケ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ク∨I
４ （コ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ アイオカケ∨Ｅ
４ サ（サ） ａ＝ｇ Ａ
４ サ（シ） Ｓｇ ６サ＝Ｅ
４ サ（ス） Ｓｊ∨Ｓｇ シ∨Ｉ
４ サ（セ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ス∨Ｉ
１ ４ （ソ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ９アコサセ∨Ｅ
１２ （タ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ２４ソＥＥ
１２ （チ） （Ｓｓ∨Ｓｊ）∨Ｓｇ タ結合法則
１２ （ツ） ～～（Ｓｓ∨Ｓｊ）∨Ｓｇ チＤＮ
１２ （テ） ～（Ｓｓ∨Ｓｊ）→Ｓｇ ツ含意の定義
３ （ト） ～（Ｓｓ∨Ｓｊ） ３ド・モルガンの法則
１２３ （ナ） Ｓｇ テトＭＰＰ
従って、
（04）により、
（05）
∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ），～Ｓｓ＆～Ｓｊ├ Ｓｇ
といふ「連式」は「妥当」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
（ⅰ）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ）～Ｓｓ＆～Ｓｊ
（ⅳ） Ｓｇ
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが合言葉を知ってゐたならば、ｘはスミスか、ジョンソンか、門衛である）。然るに、
（ⅱ）あるｘは（合言葉を知ってゐたし、銃を盗んだ）。然るに、
（ⅲ）スミスは銃を盗んでゐないし、ジョンソンも銃を盗んでいない。従って、
（ⅳ）銃を盗んだのは門衛である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（02）（06）により、
（07）
（ⅰ）スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない（アリバイが有る）。
（ⅳ）従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」は、『述語論理』としても、「妥当」である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
Ｐ＝スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
Ｑ＝合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
Ｒ＝スミスとジョンソンは盗んでいない（アリバイが有る）。
Ｓ＝門衛が銃を盗んだ。
とするならば、
Ｐ，Ｑ，Ｒ├ Ｓ
であるものの、
① ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ），～Ｓｓ＆～Ｓｊ├ Ｓｇ
② Ｐ，Ｑ，Ｒ├ Ｓ
に於いて、
① は、『述語論理』として 「妥当（ｖａｌｉｄ）」 であるが、
② は、『命題論理』として「不妥当（ｉｎｖａｌｉｄ）」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
例へば、
（ⅰ）スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない。
（ⅳ）従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」の「妥当性」は、『命題論理』では「証明」出来ない。
（01）
さて次の論証を考えてみよう（これはQuine〔17〕の翻案である）。
（１２）スミスとその門衛のみが合言葉を知っていた。合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。故に、スミスかあるいはその門衛が銃を盗んだ。
Only Smith and the guard at the gate knew the password; Someone who knew the password stole the gun. Therefore, either Smith or the guard at the gate stole the gun.
これは明らかに健全である。しかしその健全性を、等号を含まない述語計算の中で示すことはできないのである。
「のみ（only）」という語の通常の意味を念頭におくならば、（１２）の第１の前提は次のことを意味する。
（１３）合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいはその門衛であった。
Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
（１３）において、２つの「であった（was）」は同一性の「であった（was）」である。従って、
「Ｋ」が「合言葉を知っていたこと」を、「ｍ」がスミス、「ｎ」がその門衛を表すとするならば、（１３）はつぎのように記号化される。
（１４）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０９頁）
然るに、
（02）
１ （１）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ） Ａ
１ （２） Ｋａ→ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ １ＵＥ
３ （３）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ） Ａ
４ （４） ａ＝ｏ＆ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ Ａ
４ （５） ａ＝ｏ ４＆Ｅ
４ （６） ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ ４＆Ｅ
７ （７） ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ Ａ
４ （８） ａ≠ｍ ６＆Ｅ
９ （９） ａ＝ｍ Ａ
４ ９ （ア） ａ≠ｍ＆ａ＝ｍ ８９＆Ｉ
９ （イ） ～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ４アＲＡＡ
４ （ウ） ａ≠ｎ ６＆Ｅ
エ（エ） ａ＝ｎ Ａ
４ エ（オ） ａ≠ｎ＆ａ＝ｎ ウエ＆Ｉ
エ（カ） ～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ４オＲＡＡ
７ （キ） ～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ７９イエカ∨Ｅ
４７ （ク） （ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ）＆
～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ６キ＆Ｉ
４ （ケ） ～（ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ） ７クＲＡＡ
３ （コ） ～（ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ） ３４ケＥＥ
１３ （サ） ～Ｋａ ２コＭＴＴ
１ ４ （シ） ａ＝ｏ＆～Ｋａ ４サ＆Ｉ
１ ４ （ス）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ） シＥＩ
１３ （セ）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ） ３４スＥＥ
１ （ソ）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）→
∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ） ３セＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）├ ∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）→∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ）
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて、（ｘが合言葉を知っていたならば、ｘはスミスであるか、あるいは、門衛であった）。従って、
あるｘがｏであって、そのｘが、スミスではなく、門衛でもないならば、ｏといふｘで、合言葉を知らなかったｘが存在する。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（03）により、
（04）
① あるｘがｏであって、そのｘが、スミスではなく、門衛でもないならば、ｏといふｘで、合言葉を知らなかったｘが存在する。
といふことは、
（１３）合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいは、その門衛の、いずれかであった。
Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
といふことに、「他ならない」。
従って、
（01）（04）により、
（05）
E.J.レモンによる、
「のみ（only）」という語の通常の意味を念頭におくならば、（１２）の第１の前提は次のことを意味する。
（１３）合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいは、その門衛の、いずれかであった。
Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
といふ「説明」は、「正しい」。
従って、
（05）により、
（06）
「Ｓ」を、「銃を盗んだこと」を表すものとして用いるならば、われわれが証明しなくてはならないものはつぎの連式である。
１４１ ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）├ Ｓｍ∨Ｓｎ
１ （１）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ） Ａ
２ （２）∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ） Ａ
３ （３） Ｋａ＆Ｓａ Ａ
３ （４） Ｋａ ３＆Ｅ
３ （５） Ｓａ ３＆Ｅ
１ （６） Ｋａ→ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ １ＵＥ
１ ３ （７） ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ ４６ＭＰＰ
８ （８） ａ＝ｍ Ａ
３８ （９） Ｓｍ ５８＝Ｅ
３８ （ア） Ｓｍ∨Ｓｎ ９∨Ｉ
イ（イ） ａ＝ｎ Ａ
３ イ（ウ） Ｓｎ ５イ＝Ｅ
３ イ（エ） Ｓｍ∨Ｓｎ ウ∨I
１ ３ （オ） Ｓｍ∨Ｓｎ ７８アイエ∨Ｅ
１２ （カ） Ｓｍ∨Ｓｎ ２３オＥＥ
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０９頁）
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
（07）
「数学」が得意な学生は、世間では、「論理的な思考」が「得意」であるとされてゐるが、
「論理学」が得意な学生が、「論理的な思考」が「不得手」であるはずが無い。
然るに、
（08）
① ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）├ ∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）→∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ）
② ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）├ Ｓｍ∨Ｓｎ
といふ「述語論理式」は、「数学（mathematics）」ではなく、『語学（language）』である。
従って、
（09）
「（文法を基礎とした）外国語としての英語の学習」が得意な「学生」は、あるいは、
「数学の学習」が得意な「学生」よりも、「論理的な思考」が得意なのかも、知れない（？！）。
（01）
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
という「命題」は、「偽にはなり得ない」。
従って、
（01）により、
（02）
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
という「命題」は、「恒に真」である。
従って、
（02）により、
（03）
例へば、
Ｐ＝日本人である。
Ｑ＝女性である。
として、
① Ｐ＆Ｑ→Ｐ
という「命題」は、
（ⅰ）Ｐ＝真。Ｑ＝真。
（ⅱ）Ｐ＝真。Ｑ＝偽。
（ⅲ）Ｐ＝偽。Ｑ＝真。
（ⅳ）Ｐ＝偽。Ｑ＝偽。
に於いて、すなわち、
（ⅰ） Ｐ＆ Ｑ
（ⅱ） Ｐ＆～Ｑ
（ⅲ）～Ｐ＆ Ｑ
（ⅳ）～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、「恒に真」である。
然るに、
（04）
補題：任意の論理式に対する真理表テストの各行に対応して、導出可能な連式を書くことができる。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、１０７頁）
従って、
（03）（04）により、
（05）
（ⅰ）
Ｐ＆ Ｑ（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
Ｐ＆ Ｑ（２） Ｐ １＆Ｅ
Ｐ＆ Ｑ（３） ～Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
Ｐ＆ Ｑ（４） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ３∨Ｉ
Ｐ＆ Ｑ（５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ４結合法則
Ｐ＆ Ｑ（６） ～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ５ド・モルガンの法則
Ｐ＆ Ｑ（７） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ６含意の定義
（ⅱ）
Ｐ＆～Ｑ（１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
Ｐ＆～Ｑ（２） ～Ｑ １＆Ｅ
Ｐ＆～Ｑ（３） ～Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
Ｐ＆～Ｑ（４） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ３∨Ｉ
Ｐ＆～Ｑ（５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ４結合法則
Ｐ＆～Ｑ（６） ～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ５ド・モルガンの法則
Ｐ＆～Ｑ（７） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ６含意の定義
（ⅲ）
～Ｐ＆ Ｑ（１）～Ｐ＆Ｑ Ａ
～Ｐ＆ Ｑ（２）～Ｐ １＆Ｅ
～Ｐ＆ Ｑ（３）～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
～Ｐ＆ Ｑ（４）～（Ｐ＆Ｑ） ３ド・モルガンの法則
～Ｐ＆ Ｑ（５） ～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ４∨Ｉ
～Ｐ＆ Ｑ（６） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ５含意の定義
（ⅳ）
～Ｐ＆～Ｑ（１）～Ｐ＆～Ｑ Ａ
～Ｐ＆～Ｑ（２） ～Ｑ １＆Ｅ
～Ｐ＆～Ｑ（３）～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
～Ｐ＆～Ｑ（４）～（Ｐ＆Ｑ） ３ド・モルガンの法則
～Ｐ＆～Ｑ（５） ～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ４∨Ｉ
～Ｐ＆～Ｑ（６） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ５含意の定義
といふ「計算」は、４つとも、「正しい」。
然るに、
（06）
「プログラミング」の「二重ループ」に倣って、
Ｐで、（Ｑ∨～Ｑ）を「計算」してから、
～Ｐで、（Ｑ∨～Ｑ）を「計算」するならば、
（１） Ｐ∨～Ｐ 排中律（ＴＩ）
２ （２） Ｐ Ａ
（３） Ｑ∨～Ｑ 排中律（ＴＩ）
４ （４） Ｑ Ａ
２４ （５） Ｐ＆ Ｑ ２４＆Ｉ
２４ （６） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ （ⅰ）による。
７ （７） ～Ｑ Ａ
２ ７ （８） Ｐ＆～Ｑ ２７＆Ｉ
２ ７ （９） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ （ⅱ）による。
２ （ア） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ ３４６７９∨Ｅ
イ（イ） ～Ｐ Ａ
４ イ（ウ）～Ｐ＆ Ｑ イ４＆Ｉ
４ イ（エ） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ （ⅲ）による。
７イ（オ）～Ｐ＆～Ｑ イ７＆Ｉ
７イ（カ） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ （ⅳ）による。
イ（キ） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ ３４エ７カ∨Ｅ
（ク） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ １２アイキ∨Ｅ
然るに、
（06）により、
（07）
この例から、どうして一般に∨Ｅの適用によって、論理式Ａが依存する仮定の数が次第に減って行き、排中律の代入例が最後に用いられるときには、全く仮定が残らなくなる（仮定の数がゼロになる）かということが明らかになるはずである。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、１１３頁）
然るに、
（08）
定理とは、仮定の数がゼロの証明可能な連式の結論である。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、６４頁）
従って、
（03）～（08）により、
（09）
例へば、
Ｐ＝日本人である。
Ｑ＝女性である。
として、
① Ｐ＆Ｑ→Ｐ
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
という「トートロジー（恒真命題）」に関して、
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的論理式は、定理として導出可能である。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、１０４頁）
といふ『メタ定理』は、「正しい」。
然るに、
（10）
わざわざ、「このやうな証明」をしなくとも、
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
といふ「命題」が「偽」になり得ないことは、「直観的に、明らかである」。
然るに、
（11）
といふよりも、
特に第２章の第５節は、本書の他の部分よりも遥かに難しい（good deal more difficult）。
普通の読者（the ordinary reader）はとばす（つまり早く読み通す）のが賢明であろう。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、６４頁）
従って、
（10）（11）により、
（12）
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
といふ「命題」が「偽」になり得ないことを、
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的論理式は、定理として導出可能である。
といふ『メタ定理』として「理解」することは、「普通の人には、かなり難しい」。
（01）
① 明日（１月３日）が雪ならば、外出しない。
② 今日（１月３日）は晴なので、外出しない。
に於いて、
①＆②は、「矛盾」する？！
然るに、
（02）
① 明日（１月３日）が雪ならば、外出しない。
といふ「日本語」は、
① 明日（１月３日）が雪ならば、（その時に限って、）外出しない。
といふ「意味」ではない。
従って、
（02）により、
（03）
① 明日（１月３日）が雪ならば、外出しない。
といふ「日本語」は、
② 今日（１月３日）が晴である場合については、『何も、言ってはいない』。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 明日（１月３日）が雪ならば、外出しない。
② 今日（１月３日）は晴なので、外出しない。
に於いて、
①＆②は、実際には、「矛盾」しない！！
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① 明日（１月３日）が雪ならば、外出しない。
② 今日（１月３日）は晴なので、外出しない。
に於いて、
①＆②は、「矛盾」する！！
といふ風に、「大半の日本語の話者」が、「判断」するのであれば、
① 明日（１月３日）が雪ならば、外出しない。
といふ「日本語」は、
① 明日（１月３日）が雪ならば、（その時に限って、）外出しない。
に於ける、
①（その時に限って、）
といふ「部分」が、「省略」されてゐる。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
飽く迄も、「論理的」な観点からすれば、
① 雪であって、家にゐる。
② 雪であって、家にゐない。
③ 晴であって、家にゐる。
④ 晴であって、家にゐない。
に於ける、
② である場合だけに於いて、
① 雪ならば、家にゐる。
といふ「仮言命題」は、「偽」になる。
従って、
（06）により、
（07）
飽く迄も、「論理的」な観点からすれば、
① 前件であるならば、後件である。
といふ「仮言命題」は、
① 前件（真）＆後件（真）
② 前件（真）＆後件（偽）
③ 前件（偽）＆後件（真）
④ 前件（偽）＆後件（偽）
といふ「マトリックス」に於ける、
② である場合だけが、「偽」になる。
然るに、
（08）
いくぶん、「話が込み入ってゐる（involvedである）」ため、「結論」だけを述べると、
⑪ Ｐ→Ｐ （Ｐであるならば、Ｐである）。
⑫ Ｐ＆Ｑ→Ｐ（ＰであってＱであるならば、Ｐである）。
② 前件（真）＆後件（偽）
といふ「付値（真理値の組合せ）」が「有り得ない」。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
⑪ 日本人は、日本人である。
⑫ 日本人の女性は、日本人である。
のやうな、
⑪ Ｐ→Ｐ（Ｐであるならば、Ｐである）。
⑫ Ｐ＆Ｑ→Ｐ（ＰであってＱであるならば、Ｐである）。
といふ「仮言命題」の場合は、
② 前件（真）＆後件（偽）
といふ「付値（真理値の組合せ）」が「有り得ない」が故に、「トートロジー（恒に真である所の、恒真命題）」となる。
然るに、
（10）
トートロジー（英: tautology, 希: ταυτολογία, 語源はギリシャ語で「同じ」を意味するταυτοから）とは、ある事柄を述べるのに、同義語[1]または類語[2]または同語[3]を反復させる修辞技法のこと。同義語反復、類語反復、同語反復等と訳される（ウィキペディア）。
従って、
（10）により、
（11）
「トートロジー」＝「同義語反復」。
といふ風に、「理解」されかねない。
然るに、
（09）により、
（12）
⑪ 日本人は、日本人である。
⑫ 日本人の女性は、日本人である。
に於いて、
⑪ は、確かに、「同語語反復」であるが、
⑫ に関しては、「同語語反復」であるとは、言へない。
従って、
（08）～（12）により、
（13）
「恒真式（トートロジー）」といふのは、飽くまでも、
「それを偽にする所の、付値（真理値の組合せ）が無い所の、論理式（恒に真である論理式）」である。
といふ風に、「言ふべきである」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｅ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ３５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ ウＲＡＡ
１ （ケ） Ｐ→Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
従って、
（02）により、
（03）
Ｐ＝Ｐ∨Ｑ∨Ｒ
Ｑ＝Ｓ
といふ「代入（置き換へ）」により、
① （Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）→Ｓ
② ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）∨Ｓ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１ （１） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ３∨Ｉ
１２ （５） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～Ｐ ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
７ （８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
７ （９） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ８∨Ｉ
１ ７ （ア） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（イ） （ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） １７＆Ｉ
１ （ウ） ～Ｑ ７アＲＡＡ
エ（エ） Ｒ Ａ
エ（オ） Ｑ∨ Ｒ エ∨Ｉ
エ（カ） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
１ エ（キ） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） １エ＆Ｉ
１ （ク） ～Ｒ エＲＡＡ
１ （ケ） ～Ｐ＆～Ｑ＆ ６ウ＆Ｉ
１ （コ） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ クケ＆Ｉ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ Ａ
２ （３） （Ｐ ∨ Ｑ）∨Ｒ ２結合法則
４ （４） （Ｐ ∨ Ｑ） Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
１ （６） ～Ｐ １＆Ｅ
１ ５ （７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １７ＲＡＡ
９ （９） Ｑ Ａ
１ （ア） ～Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
４ （エ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） Ｒ Ａ
１ （カ） ～Ｒ １＆Ｅ
１ オ（キ） Ｒ＆～Ｒ オカ＆Ｉ
オ（ク）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １ＲＡＡ
２ （ケ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ３４エオク∨Ｅ
１２ （コ） （～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １ケ＆Ｉ
１ （サ）～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２コＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
② ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）
③ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
②＝③ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）（05）により、
（06）
① （Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）→Ｓ
② ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）∨Ｓ
③ （～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）∨Ｓ
④ ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）→Ｓ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）
②＝③ である（ド・モルガンの法則）
③＝④ である（含意の定義）
従って、
（06）により、
（07）
「番号」を付け直すとして、
① （Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）→Ｓ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）→Ｓ
に於いて、
である（ド・モルガンの法則）。
①＝② 従って、
（07）により、
（08）
「日本語」で言ふと、
①（Ｐであるか、または、Ｑであるか、または、Ｒである）ならばＳである。
②（Ｐではないし、Ｑでもないし、Ｒでもない）といふことがないならば、Ｓである。
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
（01）
１（１） Ａ＆Ｂ＆Ｃ 仮定
１（２） Ａ＆Ｂ １連言除去
１（３） Ａ ２連言除去
（４）（Ａ＆Ｂ＆Ｃ）→Ａ １３条件法
従って、
（01）により、
（02）
① Ａ＆Ｂ＆Ｃ
② Ａ＆Ｂ
③ Ａ
に於いて、『推論の規則（連言除去）』により、
① ならば、② であり、
② ならば、③ であるが、「逆」は無い。
従って、
（02）により、
（03）
① （Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ）
② （Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）
③ （Ｐ→Ｑ）
に於いて、『推論の規則（連言除去）』として、
① ならば、② であり、
② ならば、③ であるが、「逆」は無い。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ） Ａ
２ （２）（ＰＶＲＶＳ） Ａ
２ （３）（ＰＶＲ）ＶＳ ２結合法則
４ （４） ＰＶＲ Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
１ （６） Ｐ→Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） Ｑ ５６ＭＰＰ
８ （８） Ｒ Ａ
１ （９） Ｒ→Ｑ １＆Ｅ
１ ８ （ア） Ｑ ８９ＭＰＰ
１ ４ （ウ） Ｑ ４５７８アＶＥ
エ（エ） Ｓ Ａ
１ （オ） Ｓ→Ｑ １＆Ｅ
１ エ（カ） Ｑ エオＭＰＰ
１２ （キ） Ｑ ３４ウエカＶ
１ （ク）（ＰＶＲＶＳ）→Ｑ ２キＣＰ
（ⅱ）
１ （１）（ＰＶＲＶＳ）→Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） ＰＶＲ ２ＶＩ
２ （４） ＰＶＲＶＳ ３ＶＩ
１２ （５） Ｑ １４ＭＰＰ
１ （６） Ｐ→Ｑ ２５ＣＰ
７ （７） Ｒ Ａ
７ （８） ＰＶＲ ７ＶＩ
７ （９） ＰＶＲＶＱ ８ＶＩ
１ ７ （ア） Ｑ １９ＭＰＰ
１ （イ） Ｒ→Ｑ ７アＣＰ
ウ（ウ） Ｓ Ａ
ウ（エ） ＲＶＳ ウＶＩ
ウ（オ） ＰＶＲＶＳ エＶＩ
１ ウ（カ） Ｑ １オＭＰＰ
１ （キ） Ｓ→Ｑ ウカＣＰ
１ （ク）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ） ６イ＆Ｉ
１ （ケ）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ） キク＆Ｉ
従って、 （04）により、
（05）
①（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ）
②（ＰＶＲＶＳ）→Ｑ
に於いて、
① と ② は『同値（equivalence）』である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①（ＰＶＲＶＳ）→Ｑ
②（ＰＶＲ）→Ｑ
③（Ｐ）→Ｑ
に於いて、『推論の規則』として、
① ならば、② であり、
② ならば、③ であるが、「逆」は無い。
従って、
（06）により、
（07）
「記号」ではなく、「日本語」で書くと、
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
②（Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
③（Ｐである）ならばＱである。
に於いて、『推論の規則』として、
① ならば、② であり、
② ならば、③ であるが、「逆」は無い。
然るに、
（08）
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
②（Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
③（Ｐである）ならばＱである。
に於いて、
③ ならば、③ で、ある。
は、『同一律（ＡならばＡである）』である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
③（Ｐである）ならばＱである。
であるならば、
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
②（Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
③（Ｐである）ならばＱである。
に於いて、
① であるかも知れないし、
② であるかも知れないが、
③ である。
然るに、
（10）
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
②（Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
③（Ｐである）ならばＱである。
としても、いづれにせよ、
①（Ｒではない）し、
②（Ｓでもない）が、
③（Ｑである）。
とするならば、
③（Ｐであった）ために、Ｑであった。
といふことに、「ならざるを得ない」。
従って、
（07）～（08）により、
（11）
③（Ｐであること）が、
③（Ｑであること）の「原因」である。
といふことを『主張』したいのであれば、例へば、仮に、
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
②（Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
③（Ｐである）ならばＱである。
としても、「実際」には、
①（Ｒではない）し、
②（Ｓでもない）が、
③（Ｑである）。
といふ風に、『主張』すれば、「十分」である。
然るに、
（12）
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
②（Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
③（Ｐである）ならばＱである。
であるが、
①（Ｒではない）し、
②（Ｓでもない）が、その上、
③（Ｐでもない）。
とするならば、
③（Ｑには、ならない）といふことになり、そのため、例へば、
④（Ｔである）ならばＱである。
⑤（Ｔであるか、または、Ｕである）ならばＱである。
といふことになる。
従って、
（11）（12）により、
（13）
『因果関係』とは、「（原因である）Ｐがなければ（結果である）Ｑもない。」といふ『関係』です。
といふ「説明」は、「法律的」にも、「論理的」にも、「正しい」。
（01）
（ⅰ）
１ （１）（Ｐ∨Ｒ∨Ｓ）→Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｒ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨Ｒ∨Ｓ ３∨Ｉ
１２ （５） Ｑ １４ＭＰＰ
１ （６） Ｐ→Ｑ ２５ＣＰ
７ （７） Ｒ Ａ
７ （８） Ｐ∨Ｒ ７∨Ｉ
７ （９） Ｐ∨Ｒ∨Ｑ ８∨Ｉ
１ ７ （ア） Ｑ １９ＭＰＰ
１ （イ） Ｒ→Ｑ ７アＣＰ
ウ（ウ） Ｓ Ａ
ウ（エ） Ｒ∨Ｓ ウ∨Ｉ
ウ（オ） Ｐ∨Ｒ∨Ｓ エ∨Ｉ
１ ウ（カ） Ｑ １オＭＰＰ
１ （キ） Ｓ→Ｑ ウカＣＰ
１ （ク）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ） ６イ＆Ｉ
１ （ケ）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ） キク＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ） Ａ
２ （２）（Ｐ∨Ｒ∨Ｓ） Ａ
２ （３）（Ｐ∨Ｒ）∨Ｓ ２結合法則
４ （４） Ｐ∨Ｒ Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
１ （６） Ｐ→Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） Ｑ ５６ＭＰＰ
８ （８） Ｒ Ａ
１ （９） Ｒ→Ｑ １＆Ｅ
１ ８ （ア） Ｑ ８９ＭＰＰ
１ ４ （ウ） Ｑ ４５７８ア∨Ｅ
エ（エ） Ｓ Ａ
１ （オ） Ｓ→Ｑ １＆Ｅ
１ エ（カ） Ｑ エオＭＰＰ
１２ （キ） Ｑ ３４ウエカ∨Ｅ
１ （ク）（Ｐ∨Ｒ∨Ｓ）→Ｑ ２キＣＰ
（ⅲ）
１（１）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ） Ａ
１（２）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ） １＆Ｅ
１（３）（Ｐ→Ｑ） ２＆Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ∨Ｒ∨Ｓ）→Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ）
③（Ｐ→Ｑ）
に於いて、すなはち、
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならば、Ｑである。
②（Ｐであるならば、Ｑであって）、（Ｒであるならば、Ｑであって）、（Ｓであるならば、Ｑである）。
③（Ｐであるならば、Ｑである）。
に於いて、
① ⇔ ② であって、
② → ③ であるが、
③ ← ② であるとは、「限らない」。
然るに、
（03）
（ⅳ）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ） ２ア＆Ｉ
１ （２）（Ｐ→Ｑ） １＆Ｅ
１ （３） （～Ｐ→～Ｑ） １＆Ｅ
４ （４） Ｑ Ａ
５（５） ～Ｐ Ａ
１ ５（６） ～Ｑ ３５ＭＰＰ
１４５（７） Ｑ＆～Ｑ ４６＆Ｉ
１４ （８） ～～Ｐ ５７ＣＰ
１４ （９） Ｐ ８ＤＮ
１ （ア） Ｑ→Ｐ ４９ＣＰ
１ （イ）（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ） ２ア＆Ｉ
（ⅴ）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ） Ａ
１ （２）（Ｐ→Ｑ） １＆Ｅ
１ （３） （Ｑ→Ｐ） １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
５（５） Ｑ Ａ
１ ５（６） Ｐ ３５ＭＰＰ
１４５（７） ～Ｐ＆Ｐ ４６＆Ｉ
１４ （８） ～Ｑ ５７ＲＡＡ
１ （９） ～Ｐ→～Ｑ ４８ＣＰ
１ （ア）（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ） ２ア＆Ｉ
従って、
（03）により、
（04）
④（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
⑤（Ｐ→Ｑ）＆（ Ｑ→ Ｐ）
に於いて、すなはち、
④（Ｐであるならば、Ｑである）が、（Ｐでないならば、Ｑでない）。
⑤（Ｐであるならば、Ｑであって）、（Ｑであるならば、Ｐである）。
に於いて、
④ ⇔ ⑤ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
「Ｐならば、Ｑである（順）」が「真」であるとしても、
「Ｑならば、Ｐである（逆）」が「真」であるとは、「限らない」。
といふことは、
「Ｐならば、Ｑである（順）」が「真」であるとしても、
「Ｐが、Ｑの原因である」とは「限らない」。
といふことに、「等しい」。
（01）
（ａ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５）～Ｑ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｐ ３５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ２６ＣＰ
（ｂ）
１ （１） ～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
１ ３（４） ～Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｑ
② Ｐ→ Ｑ
③ ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
① ならば、② であって、
① ならば、③ であって、
②＝③ は「対偶」である。
然るに、
（03）
（ａ）
１ （１） Ｐ∨Ｒ→Ｑ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
２（３） Ｐ∨Ｒ ２∨Ｉ
１２（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１ （５） Ｐ→Ｑ ２４ＭＰＰ
（ｂ）
１ （１） Ｐ∨Ｒ→Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
１２ （３）～（Ｐ∨Ｒ） １２ＭＴＴ
４（４） Ｐ Ａ
４（５） Ｐ∨Ｒ ４∨Ｉ
１２４（６）～（Ｐ∨Ｒ）＆
（Ｐ∨Ｒ） ３５＆Ｉ
１２ （７） ～Ｐ ４６ＲＡＡ
１ （８） ～Ｑ→～Ｐ ２７ＣＰ
従って、
（02）（03）により、
（04）
① Ｐ∨Ｒ→Ｑ
② Ｐ→ Ｑ
③ ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
① ならば、② であって、
① ならば、③ であって、
②＝③ は「対偶」である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｑ
であっても、
① Ｐ∨Ｒ→Ｑ
であっても、「両方」とも、
② Ｐ→ Ｑ
③ ～Ｑ→～Ｐ
である。
従って、
（05）により、
（06）
② Ｐ→ Ｑ
③ ～Ｑ→～Ｐ
といふ「事実」が『確認』されたとしても、「それだけ」では、
② Ｐ→ Ｑ
であるのか、
① Ｐ∨Ｒ→Ｑ
であるのかは、『確認』出来ない。
然るに、
（04）により、
（07）
Ｐ＝年収が高い。
Ｒ＝年齢が高い。
Ｑ＝血圧も高い。
とするならば、
①「年収が高い」か、「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
②「年収が高い」ならば、「血圧は高い」。
③「血圧が低い」ならば、「年収も低い」。
といふ「命題」は、それぞれ、
① Ｐ∨Ｒ→Ｑ
② Ｐ→ Ｑ
③ ～Ｑ→～Ｐ
といふ「命題」に「相当」する。
従って、
（06）（07）により、
（08）
②「年収が高い」ならば、「血圧は高い」。
③「血圧が低い」ならば、「年収も低い」。
といふ「事実」が『確認』されたとしても、「それだけ」では、
②「年収が高い」ならば、「血圧は高い」。
であるのか、
①「年収が高い」か、「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
であるのかは、『確認』出来ない。
然るに、
（09）
①「年収が高い」か、「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
といふ「命題」が「真」であるならば、
① 「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
といふ「命題」は「真」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
②「年収が高い」ならば、「血圧は高い」。
③「血圧が低い」ならば、「年収も低い」。
といふ「事実」が『確認』されたとしても、「実際」には、『本当の原因』は、
①「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
といふことなのかも、「知れない」。
然るに、
（11）
「一般的」に言へば、
①「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
従って、
（10）（11）により、
（12）
①「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
といふことからすれば、
②「年収が高い」ならば、「血圧は高い」。
といふことであっても、『逆』に、
②「血圧が高い」ならば、「年収も高い」。
といふことは、『必ずしも、真』ではない。
（01）
「太郎かあるいは次郎が辞書を持っている」といわれるとき、
「太郎が辞書を持っている」と、
「次郎が辞書を持っている」の二つの命題は同時に真になることが可能である。
このような選言は「両立的選言」と呼ばれる。
「太郎は３階か５階にいる」と言われるとき、
「太郎は３階にいる」と
「太郎は５階にいる」の二つの命題が同時に真になることはありえない。
このような選言は「排他的選言」である。
「論理学」の「・・・あるいは・・・」は「両立的選言」に決めてある。
それは「論理学」の体系がよりシンプルなものになるからである。とりわけ、
「∨」を「両立的選言」に決めておけば、「排他的選言」の方は
「∨と＆と～」によって簡単に表現できる―（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）―
（昭和堂、論理学の基礎、1994年、１１頁）。
従って、
（02）
①（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
といふ「論理式」、すなはち、「日本語」で言ふところの、
①（Ｐであるか、または、Ｑである）が、ただし、（ＰであってＱである）といふことはない。
といふ「命題」は、「排他的選言」である。
然るに、
（03）
「（日本語の）直観的」からすれば、
①（Ｐであるか、または、Ｑである）が、（ＰであってＱである）といふことはない。
②（Ｐでないならば、Ｑであって）、（Ｐであるならば、Ｑでない）。
③（ＰとＱが、「同時に真」になること、並びに、ＰとＱが「同時に偽」になる）といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（03）により、
（04）
「論理式」で書くならば、
① （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆ Ｑ）
② （～Ｐ→ Ｑ）＆ （Ｐ→～Ｑ）
③ ～（Ｐ⇔ Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
１ （２） Ｐ∨ Ｑ １＆Ｅ
３ （３） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
３ （５） ～Ｐ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｐ＆～Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
３ （９） ～Ｑ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｐ Ａ
オ （オ） ～Ｑ Ａ
エオ （カ） ～Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ エオ （キ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆（～Ｐ＆～Ｑ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｑ クＤＮ
１ （コ） ～Ｐ→ Ｑ エケＣＰ
１ （サ） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
シ （シ） Ｐ Ａ
ス（ス） Ｑ Ａ
シス（セ） Ｐ＆ Ｑ シス＆Ｉ
１ シス（ソ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆（Ｐ＆ Ｑ） サセ＆Ｉ
１ シ （タ） ～Ｑ スソＲＡＡ
１ （チ） Ｐ→～Ｑ シタＣＰ
１ （ツ） （～Ｐ→ Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ） コチ＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１） （～Ｐ→ Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ） Ａ
１ （２） （～Ｐ→ Ｑ） １＆Ｅ
３ （３） ～（ Ｐ∨ Ｑ） Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
４ （５） Ｐ∨ Ｑ ４∨Ｉ
３４ （６） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆（Ｐ∨ Ｑ） ３５＆Ｉ
３ （７） ～Ｐ ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
３ ８ （ア） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆（Ｐ∨ Ｑ） ３９＆Ｉ
３ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
１３ （ウ） Ｑ ２７ＭＰＰ
１３ （エ） ～Ｑ＆Ｑ イウ＆Ｉ
１ （オ）～～（ Ｐ∨ Ｑ） ３エ
１ （カ） Ｐ∨ Ｑ オＤＮ
１ （キ） Ｐ→～Ｑ １＆Ｅ
ク （ク） Ｐ＆ Ｑ Ａ
ク （ケ） Ｐ ク＆Ｅ
１ ク （コ） ～Ｑ キケＭＰＰ
ク （サ） Ｑ ク＆Ｅ
１ ク （シ） ～Ｑ＆Ｑ コサ＆Ｉ
１ （ス） ～（Ｐ＆ Ｑ） クシＲＡＡ
１ （セ） （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆ Ｑ） カス＆Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
①（ Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆ Ｑ）
②（～Ｐ→Ｑ）＆ （Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
（ⅱ）
１ （１） （～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ） Ａ
（２） ～Ｐ ∨ Ｐ 排中律
１ （３） ～Ｐ→Ｑ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
１４ （５） Ｑ ３４ＭＰＰ
１４ （６） ～Ｐ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１４ （７） （～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ６∨Ｉ
１ （８） Ｐ→～Ｑ １＆Ｅ
９ （９） Ｐ Ａ
１ ９ （ア） ～Ｑ ８９ＭＰＰ
１ ９ （イ） Ｐ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
１ ９ （ウ） （～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） イ∨Ｉ
１ （エ） （～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ２４７９ウ∨Ｅ
オ （オ） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
カ （カ） Ｐ→ Ｑ Ａ
オ （キ） Ｐ オ＆Ｅ
オカ （ク） Ｑ カキＭＰＰ
オ （ケ） ～Ｑ オ＆Ｅ
オカ （コ） Ｑ＆～Ｑ クケ＆Ｉ
オ （サ） ～（Ｐ→ Ｑ） カコＲＡＡ
オ （シ） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） サ∨Ｉ
ス （ス） （～Ｐ＆Ｑ） Ａ
セ（セ） Ｑ→Ｐ Ａ
ス （ソ） Ｑ ス＆Ｅ
スセ（タ） Ｐ セソＭＰＰ
ス （チ） ～Ｐ ス＆Ｅ
スセ（ツ） ～Ｐ＆Ｐ タチ＆Ｉ
ス （テ） ～（Ｑ→Ｐ） セツＲＡＡ
ス （ト） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） テ∨Ｉ
１ （ナ） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） エオシスト∨Ｅ
１ （ニ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ ナ、ド・モルガンの法則
１ （ヌ） ～（Ｐ⇔Ｑ） ニＤｆ.⇔
（ⅲ）
１ （１） ～（Ｐ⇔Ｑ） Ａ
１ （２） ～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｐ→Ｑ）∨ ～（Ｑ→Ｐ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～｛（～Ｐ→Ｑ）＆ （Ｐ→～Ｑ）｝ Ａ
４ （５） ～（～Ｐ→Ｑ）∨～（Ｐ→～Ｑ） ４ド・モルガンの法則
６ （６） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
６ （７） ～（～Ｐ∨Ｑ） ６含意の定義
６ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
９ （９） ～（～Ｐ→Ｑ） Ａ
９ （ア） ～（Ｐ∨Ｑ） ９含意の定義
９ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ア、ド・モルガンの法則
９ （ウ） ～Ｐ イ＆Ｅ
６ （エ） Ｐ ８＆Ｅ
６９ （オ） ～Ｐ＆Ｐ ウエ＆Ｉ
９ （カ） ～～（Ｐ→Ｑ） ６オＲＡＡ
キ （キ） ～（Ｐ→～Ｑ） Ａ
キ （ク） ～（～Ｐ∨～Ｑ） キ含意の定義
キ （ケ） Ｐ＆ Ｑ ク、ド・モルガンの法則
キ （コ） Ｑ ケ＆Ｅ
６ （サ） ～Ｑ イ＆Ｅ
６ キ （シ） ～Ｑ＆Ｑ コサ＆Ｉ
キ （ス） ～～（Ｐ→Ｑ） ６シＲＡＡ
４ （セ） ～～（Ｐ→Ｑ） ５９カキス∨Ｅ
４ （ソ） Ｐ→Ｑ セＤＮ
タ （タ） ～（Ｑ→Ｐ） Ａ
タ （チ） ～（～Ｑ∨Ｐ） タ含意の定義
タ （ツ） Ｑ＆～Ｐ チ、ド・モルガンの法則
９ （テ） ～Ｑ イ＆Ｅ
タ （ト） Ｑ ツ＆Ｅ
９ タ （ナ） ～Ｑ＆Ｑ テト＆Ｉ
９ （ニ） ～～（Ｑ→Ｐ） タナＲＡＡ
キ （ヌ） Ｐ ケ＆Ｅ
タ （ノ） ～Ｐ ツ＆Ｅ
キタ （ハ） Ｐ＆～Ｐ ヌノ＆Ｉ
キ （ヒ） ～～（Ｑ→Ｐ） タハＲＡＡ
４ （フ） ～～（Ｑ→Ｐ） ５９ニキヒ∨Ｅ
４ （ヘ） Ｑ→Ｐ フＤＮ
４ （ホ） （Ｐ→ Ｑ）＆（Ｑ→ Ｐ） ソヘ＆Ｉ
１４ （マ） ～｛（Ｐ→ Ｑ）＆（Ｑ→ Ｐ）｝＆
｛（Ｐ→ Ｑ）＆（Ｑ→ Ｐ）｝ ２ホ＆Ｉ
１ （ミ） ～～｛（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）｝ ４マＲＡＡ
１ （ム） （～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ） ミＤＮ
従って、
（07）により、
（08）
② （～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）
③ ～（Ｐ⇔Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（06）（08）により、
（09）
① （ Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆ Ｑ）
② （～Ｐ→Ｑ）＆ （Ｐ→～Ｑ）
③ ～（Ｐ⇔Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（03）（04）（09）により、
（10）
果たして、
①（Ｐであるか、または、Ｑである）が、（ＰであってＱである）といふことはない。
②（Ｐでないならば、Ｑであって）、（Ｐであるならば、Ｑでない）。
③（ＰとＱが、「同時に真」になること、並びに、ＰとＱが「同時に偽」になる）といふことはない。
といふ「日本語」に於いて、
①＝②＝③ である。
（01）
① Ｐ∨Ｑ
② ～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「論理式」は、それぞれ、
① Ｐであるか、Ｑであるか、または、両方である。
②（ＰとＱが、同時に真になることも、同時に偽になることも）無い。
といふ「意味」である。
然るに、
（02）
②（ＰとＱが、同時に真になることも、同時に偽になることも）無い。
といふことは、
② Ｐであるか、Ｑであるが、ただし、両方ではない。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ∨Ｑ
② ～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「論理式」は、それぞれ、
① Ｐであるか、Ｑであるか、または、両方である。
② Ｐであるか、Ｑであるが、ただし、両方ではない。
といふ「意味」であって、この場合、
① を、「両立的選言」と言ひ、
② を、「排他的選言」と言ふ。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ⇔Ｑ） Ａ
１ （２）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
４ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
４ （６） （Ｐ＆～Ｑ） ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ６∨Ｉ
８（８） ～（Ｑ→Ｐ） Ａ
８（９） ～（～Ｑ∨Ｐ） ８含意の定義
８（ア） Ｑ＆～Ｐ ９ド・モルガンの法則
８（イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ３４７８イ∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｐ→Ｑ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ４∨Ｉ
６（６） Ｑ＆～Ｐ Ａ
６（７） ～（～Ｑ∨Ｐ） ６ド・モルガンの法則
６（８） ～（Ｑ→Ｐ） ７含意の定義
６（９） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ８∨Ｉ
１ （ア） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） １２５６９∨Ｅ
１ （イ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ ア、ド・モルガンの法則
１ （ウ） ～（Ｐ⇔Ｑ） イＤｆ．⇔
従って、
（04）により、
（05）
② ～（Ｐ⇔Ｑ）
③ （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（06）
『岩波書店、クワイン 論理学の方法、１９６１年、１１頁』を見ると、
③（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
④ Ｐ⇔～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
② ～（Ｐ⇔ Ｑ）
④ Ｐ⇔～Ｑ
に於いて、
②＝④ である。
然るに、
（08）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ⇔ Ｑ） Ａ
１ （２）～｛（Ｐ→ Ｑ）＆ （ Ｑ→Ｐ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｐ→ Ｑ）∨～（ Ｑ→Ｐ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
４ （５） ～（～Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
４ （６） Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨ （Ｑ＆～Ｐ） ６∨Ｉ
８ （８） ～（ Ｑ→Ｐ） Ａ
８ （９） ～（～Ｑ∨Ｐ） ８含意の定義
８ （ア） （Ｑ＆～Ｐ） ９ド・モルガンの法則
８ （イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨ （Ｑ＆～Ｐ） ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨ （Ｑ＆～Ｐ） １４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～（Ｐ⇔～Ｑ） Ａ
エ （オ）～｛（Ｐ→～Ｑ）＆ （～Ｑ→Ｐ）｝ エＤｆ.⇔
エ （カ） ～（Ｐ→～Ｑ）∨～（～Ｑ→Ｐ） オ、ド・モルガンの法則
キ （キ） ～（Ｐ→～Ｑ） Ａ
キ （ク）～（～Ｐ∨～Ｑ） キ含意の定義
キ （ケ） （Ｐ＆ Ｑ） ク、ド・モルガンの法則
キ （コ） （Ｐ＆ Ｑ）∨（～Ｑ＆～Ｐ） ケ∨Ｉ
サ （サ） ～（～Ｑ→Ｐ） Ａ
サ （シ） ～（Ｑ∨ Ｐ） サ含意の定義
サ （ス） （～Ｑ＆～Ｐ） シ、ド・モルガンの法則
サ （セ） （Ｐ＆ Ｑ）∨（～Ｑ＆～Ｐ） ス∨Ｉ
エ （ソ） （Ｐ＆ Ｑ）∨（～Ｑ＆～Ｐ） エキコサセ∨Ｅ
タ （タ） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
チ （チ） （Ｐ＆ Ｑ） Ａ
タ （ツ） ～Ｑ タ＆Ｅ
チ （テ） Ｑ チ＆Ｅ
タチ （ト） ～Ｑ＆Ｑ ツテ＆Ｉ
チ （ナ） ～（Ｐ＆～Ｑ） タトＲＡＡ
ニ （ニ） （～Ｑ＆～Ｐ） Ａ
タ （ヌ） Ｐ タ＆Ｅ
ニ （ネ） ～Ｐ ニ＆Ｅ
タ ニ （ノ） Ｐ＆～Ｐ ヌネ＆Ｉ
ニ （ハ） ～（Ｐ＆～Ｑ） タノＲＡＡ
エ （ヒ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ソチナニハ∨Ｅ
フ （フ） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
ヘ （ヘ） （Ｐ＆ Ｑ） Ａ
フ （ホ） ～Ｐ フ＆Ｅ
ヘ （マ） Ｐ ヘ＆Ｅ
フヘ （ミ） Ｐ＆～Ｑ ホマ＆Ｉ
ヘ （ム） ～（Ｑ＆～Ｐ） フミＲＡＡ
メ （メ） （～Ｑ＆～Ｐ） Ａ
フ （モ） Ｑ フ＆Ｅ
メ （ヤ） ～Ｑ メ＆Ｅ
フ メ （ユ） Ｑ＆～Ｑ モヤ＆Ｉ
メ （ヨ） ～（Ｑ＆～Ｐ） フユＲＡＡ
エ （ラ） ～（Ｑ＆～Ｐ） ソヘムメヨＲＡＡ
リ （リ） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
エ リ （ル） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆ （Ｐ＆～Ｑ） ヒリ＆Ｉ
リ （レ）～～（Ｐ⇔～Ｑ） エルＲＡＡ
ロ（ロ） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
エ ロ（ワ） ～（Ｑ＆～Ｐ）＆ （Ｑ＆～Ｐ） ラロ＆Ｉ
ロ（ヲ）～～（Ｐ⇔～Ｑ） エワＲＡＡ
１ （ン）～～（Ｐ⇔～Ｑ） ウリレロヲ∨Ｅ
１ （あ） Ｐ⇔～Ｑ ンＤＮ
（ⅳ）
１ （１） Ｐ⇔～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ⇔ Ｑ Ａ
１ （３） （Ｐ→～Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ） １Ｄｆ.⇔
２ （４） （Ｐ→ Ｑ）＆（ Ｑ→Ｐ） ２Ｄｆ.⇔
１ （５） Ｐ→～Ｑ ３＆Ｅ
２ （６） Ｐ→ Ｑ ４＆Ｅ
１ （７） ～Ｑ→Ｐ ３＆Ｅ
２ （８） Ｑ→Ｐ ４＆Ｅ
（９） Ｐ∨～Ｐ 排中律
ア （ア） Ｐ Ａ
１ ア （イ） ～Ｑ ５アＭＰＰ
２ア （ウ） Ｑ ６アＭＰＰ
１２ア （エ） Ｑ＆～Ｑ ウイ＆Ｉ
１ ア （オ）～（Ｐ⇔ Ｑ） ２エＲＡＡ
カ（カ） ～Ｐ Ａ
１ カ（キ） ～～Ｑ ７カＭＴＴ
２ カ（ク） ～Ｑ ８カＭＴＴ
１２ カ（ケ） ～～Ｑ＆～Ｑ キク＆Ｉ
１ カ（コ）～（Ｐ⇔ Ｑ） ２ケＲＡＡ
１ （サ）～（Ｐ⇔ Ｑ） ９アオカコ∨Ｅ
従って、
（08）により、
（09）
果たして、
② ～（Ｐ⇔ Ｑ）
④ Ｐ⇔～Ｑ
に於いて、
②＝④ である。
従って、
（05）（09）により、
（10）
② ～（Ｐ⇔ Ｑ）
③ （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
④ Ｐ⇔～Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
②＝③＝④ であって、これは３つとも、「排他的選言」である。
従って、
（10）により、
（11）
②（ＰとＱが、同時に真になることも、同時に偽になることも）無い。
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
④（Ｐである）といふことは（Ｑでない）といふことに「等しい」。
といふ「論理式」に於いて、
②＝③＝④ であって、これは３つとも、「排他的選言」である。
然るに、
（12）
②（ＰとＱが、同時に真になることも、同時に偽になることも）無い。
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
④（Ｐである）といふことは（Ｑでない）といふことに「等しい」。
に於いて、
②＝③ であることは、「分かり易い」が、
②＝④ であることは、「分かり難い」。
然るに、
（13）
④ Ｐ⇔～Ｑ
⑤（Ｐ→～Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
④「排他的命題」としての、
④（Ｐである）といふことは（Ｑでない）といふことに「等しい」。
といふ「日本語」は、「分かり難い」が、「命題計算」の際には、
④「排他的命題」としての、
④ Ｐ⇔～Ｑ
といふ「論理式」は、「極めて、便利である」。
（01）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ Ａ
２（３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １６＆Ｉ
（８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
（ⅳ）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
（３）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ ２∨Ｉ
（４） （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ ３含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｐ
② Ｐ∨～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）
④ （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
といふ「論理式」、すなはち、
① Ｐならば、Ｐである（同一律）。
② Ｐであるか、または、Ｐでない（排中律）。
③ Ｐであって、Ｐでない、といふことはない（矛盾律）。
④ Ｐであって、Ｐでない、ならば、Ｑである。
といふ「論理式」は、４つとも「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（03）
④（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
といふ「論理式」が「恒真式式（トートロジー）」である。
といふことは、
④『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
（04）
④『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
としても、
④『矛盾』は「偽」であって、「真」ではない。
従って、
（04）により、
（05）
④『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
としても、
（１）（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
２（２）（Ｐ＆～Ｐ） Ａ
２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
といふ「推論」は、『妥当』ではない。
従って、
（05）により、
（06）
例へば、
③（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、（徳島県は四国である）。
④（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（香川県は九州である）。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」であるが、
③（徳島県は四国である）といふ「命題」は「真」であって、
④（香川県は九州である）といふ「命題」は「偽」である。
然るに、
（07）
③（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、（徳島県は四国である）。
④（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（香川県は九州である）。
といふ「仮言命題」が「真」であることは、『真理表（truth-table）』からも、「確認」出来る。
（08）
といふよりも、
①「真」ならば「真」である（は真）。
②「真」ならば「偽」である（は偽）。
③「偽」ならば「真」である（は真）。
④「偽」ならば「偽」である（は真）。
といふ『真理表（truth-table）』に於いて、
② だけが「偽」であるからこそ、
③（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、（徳島県は四国である）。
④（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（香川県は九州である）。
といふ「仮言命題」は、「真」になる。
といふ方が、「正しい」。
従って、
（09）
③（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、（徳島県は四国である）。
④（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（香川県は九州である）。
といふ「仮言命題」は、「偽」である。
とするのであれば、『真理表（truth-table）』そのものを、
①「真」ならば「真」である（は真）。
②「真」ならば「偽」である（は偽）。
③「偽」ならば「真」である（は偽）。
④「偽」ならば「偽」である（は偽）。
といふ風に、『書き換へ』る、「必要」がある。
然るに、
（09）により、
（10）
そうすると、その場合は、
① Ｐ＆Ｑ（Ｐであって、Ｑである）。
② Ｐ→Ｑ（Ｐならば、 Ｑである）。
に於いて、
①＝② であるが、
そのやうなことは、「有り得ない」。
（01） （ａ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ（１５、ド・モルガンの法則）
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ｂ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨Ｑ ９∨I
８９ （イ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨Ｑ オ∨Ｉ（７カ、ド・モルガンの法則）
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８∨Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨Ｑ サＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ∨ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ Ｐ→ Ｑ
に於いて、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」であって、
①＝③ は、「含意の定義」である。
然るに、
（03）
① ～Ｐ∨ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ Ｐ→ Ｑ
といふ「論理式」は、
① ～ＰとＱの、少なくとも、一方は「真」である。
② Ｐであって、 Ｑでない、といふことは無い。
③ Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「日本語」に「相当」する。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ～ＰとＱの、少なくとも、一方は「真」である。
② Ｐであって、 Ｑでない、といふことは無い。
③ Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（05）
① ～Ｐ＝徳島は九州ではない。
とするならば、
① Ｐ＝徳島は九州である。
である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ～ＰとＱの、少なくとも、一方は「真」である。
② Ｐであって、 Ｑでない、といふことは無い。
③ Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
① ～Ｐ＝徳島は九州ではない。
① Ｐ＝徳島は九州である。
① Ｑ＝２は奇数である。
とするならば、
①（徳島は九州ではない）と （２は奇数である）といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
②（徳島は九州であって）、 （２は奇数でない）、といふことは無い。
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（07）
従って、
（07）により、
（08）
言ふまでもなく、
① Ｐ＝徳島は九州である。
といふ「命題」は、「偽」であって、
① ～Ｐ＝徳島は九州ではない。
といふ「命題」は、「真」である。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
①（徳島は九州ではない）と （２は奇数である）といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
②（徳島は九州であって）、 （２は奇数でない）、といふことは無い。
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
① は「真」である。
従って、
（09）により、
（10）
①（徳島は九州ではない）と （２は奇数である）といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
②（徳島は九州であって）、 （２は奇数でない）、といふことは無い。
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
① は「真」であるが故に、
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
といふ「命題」も、「真」である。
従って、
（10）により、
（11）
「換言」すると、
①（徳島は九州ではない）と （２は奇数である）といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
に於いて、
①＝③ ではないとするならば、
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
といふ「命題」が「真」である。
といふことには、ならない。
然るに、
（12）
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
といふ「仮言命題」が「真」であるとしても、
③（徳島は九州である）。
といふ「命題（前件）」は、「偽」である。
従って、
（13）
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
といふ「仮言命題」が「真」であるとしても、
③（徳島は九州である）。
といふ「命題（前件）」は、「偽」であるため、
③（２は奇数である）。
といふ「命題（後件）」が「真」であるとは、「限らない」。
（01）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
③ 象以外に、象といふ動物がゐる。
とするならば、
③ 象ではなくて、象である動物がゐる。
といふことになり、『矛盾』する。
従って、
（02）により、
（03）
③ 象以外に、象といふ動物はゐない。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物である。
③ 象は、動物であり、象以外に、象といふ動物はゐない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（05）
③ 象は、動物であり、象以外に、象といふ動物はゐない。
④ 象は、動物であり、象は、象といふ動物に「等しい」。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物である。
③ 象は、動物であり、象以外に、象といふ動物はゐない。
④ 象は、動物であり、象は、象といふ動物に「等しい」。
といふ「日本語」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（06）により、
（07）
「番号」を「付け直す」と、
① 象は、動物である。
② 象は、動物であり、象は、象といふ動物に「等しい」。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
② 象は、動物であり、象は、象といふ動物に「等しい」。
といふことは、
② 象は、象といふ動物に「等しい」。
といふことに、「他ならない」。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物に「等しい」。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（09）により、
（10）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物に「等しい」。
といふ「日本語」は、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、そのときに限って、ｘは象であって、ｘは動物である）。
といふ「意味」である。
従って、
（10）により、
（11）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物に「等しい」。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
といふ「述語論理式」に、「等しい」。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物に「等しい」。
に於いて、すなはち、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ→動物ａ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） 動物ｂ ２３ＭＰＰ
１３ （５） 象ａ＆動物ｂ ３４＆Ｉ
１ （６） 象ａ→象ａ＆動物ａ ３５ＣＰ
７（７） 象ａ＆動物ａ Ａ
７（８） 象ａ ７＆Ｅ
（９） 象ａ＆動物ａ→象ａ ７８ＣＰ
１ （ア） 象ａ→象ａ＆動物ａ＆
象ａ＆動物ａ→象ａ ６９＆Ｉ
１ （イ） 象ａ⇔象ａ＆動物ａ アＤｆ.⇔
１ （ウ）∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ） イＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ⇔象ａ＆動物ａ １ＵＥ
１ （３） 象ａ→象ａ＆動物ａ＆
象ａ＆動物ａ→象ａ ２Ｄｆ.⇔
１ （４） 象ａ→象ａ＆動物ａ ３＆Ｅ
５ （５） 象ａ Ａ
１５ （６） 象ａ＆動物ａ ４５ＭＰＰ
１５ （７） 動物ａ ６＆Ｅ
１ （８） 象ａ→動物ａ ５７ＣＰ
１ （９）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ８ＵＩ
従って、
（12）（13）により、
（14）
果たして、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
に於いても、
①＝② である。
然るに、
（15）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
といふ『述語論理式』は、
① 象⊂動物
② 象＝象∩動物
といふ『集合の式』に「等しい」。
従って、
（12）～（15）により、
（16）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物に「等しい」。
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
⑤ 象⊂動物
⑥ 象＝象∩動物
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥ である。
（01）
『集合の記号』で書くと、
① 象⊂動物
② 象＝象∩動物
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ→動物ａ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） 動物ｂ ２３ＭＰＰ
１３ （５） 象ａ＆動物ｂ ３４＆Ｉ
１ （６） 象ａ→象ａ＆動物ａ ３５ＣＰ
７（７） 象ａ＆動物ａ Ａ
７（８） 象ａ ７＆Ｅ
（９） 象ａ＆動物ａ→象ａ ７８ＣＰ
１ （ア） 象ａ→象ａ＆動物ａ＆
象ａ＆動物ａ→象ａ ６９＆Ｉ
１ （イ） 象ａ⇔象ａ＆動物ａ アＤｆ.⇔
１ （ウ）∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ） イＵＩ
（ⅳ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ⇔象ａ＆動物ａ １ＵＥ
１ （３） 象ａ→象ａ＆動物ａ＆
象ａ＆動物ａ→象ａ ２Ｄｆ.⇔
１ （４） 象ａ→象ａ＆動物ａ ３＆Ｅ
５ （５） 象ａ Ａ
１５ （６） 象ａ＆動物ａ ４５ＭＰＰ
１５ （７） 動物ａ ６＆Ｅ
１ （８） 象ａ→動物ａ ５７ＣＰ
１ （９）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ８ＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、そのときに限って、ｘは象であって、ｘは動物である）。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（03）により、
（04）
③ 象は、動物である。
④ 象は、象といふ動物であって、象以外は、象といふ動物ではない。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）により、
（05）
⑤ 象は、動物である。
⑥ 象が、象といふ動物である。
に於いて、
⑤＝⑥ である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 象⊂動物
② 象＝象∩動物
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
⑤ 象は、動物である。
⑥ 象が、象といふ動物である。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥ である。