公式を利用した因数分解

公式を利用した因数分解の指導。
例によってxの２乗はx^2と表すことにする。

前にx^2+3x+1=(x+1)(x+2)などの話は書いたことがある。

x^2+5x+6=(x+2)(x+3)をやってから、x^2-5x-6は？とやると引っかかる。

x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) の公式を使った因数分解では、まず一番最後の数に目をつける。



だから、x^2-5x-6 は-6に目をつけるのだが、
私は「６に目をつけて、６をかけ算で２つに分けてみなさい」と言う。

６＝１×６
６＝２×３

この中で「５」が出来そうなのは？両方とも５になりそう。
どっち？　１，６を使うのか、２，３を使うのか？
しばらく考えさせると、１、６を使うことに気づく。
このときどうして２，３ではだめで１，６だといいのかを聞く。

生徒「最後の数がマイナスだから」
　「何で？」
生徒「２つの数をかけてマイナスだと、たしたとき２，３だと５にならない」

だいたいこの問答で決まり。


それから、x^2-5x-6=(x 1)(x 6)とやって、それから符号を考えさせる。
「たして-5になるのだから、+1と-6だね。」

こうして、x^2-5x-6=(x+1)(x-6)

次に、x^2-10x-24をやる。たいてい(x-4)(x-6)と間違える。

２４を分けると、　１×２４、２×１２、３×８、４×６
このなかで１０ができるものは、２，１２と４，６

「どっちだか見分ける方法は？」と聞く。
生徒「・・・」
生徒「最後の数がマイナスだから、引いて１０になる方で、２，１２」
「正解！」

x^2+5x+6=(x+2)(x+3)
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)
x^2+5x-6=(x-1)(x+6)
x^2-5x-6=(x+1)(x-6)
この手の問題はこのパターンの他に

x^2+10x+24=(x+4)(x+6)
x^2-10x+24=(x-4)(x-6)
x^2+10x-24=(x+12)(x-2)
x^2-10x-24=(x-12)(x+2)

x^2+15x+54=(x+6)(x+9)
x^2-15x+54=(x-6)(x-9)
x^2+15x-54=(x+18)(x-3)
x^2-15x-54=(x-18)(x+3)

これらは教員になってからすぐに見つけた。
x^2+5nx+6n^2=(x+2n)(x+3n)
x^2-5nx+6n^2=(x-2n)(x-3n)
x^2+5nx-6n^2=(x-n)(x+6n)
x^2-5nx-6n^2=(x+n)(x-6n)
で、nに1,2,3・・・・を代入すればよい。

最近見つけたパターンは

x^2+13x+30=(x+10)(x+3)
x^2-13x+30=(x-10)(x-3)
x^2+13x-30=(x+15)(x-2)
x^2-13x-30=(x-15)(x+2)
現任校にきて、教科書にあったのを見た。

一昨年見つけたパターンは
x^2+17x+60=(x+5)(x+12)
x^2-17x+60=(x-5)(x-12)
x^2+17x-60=(x-3)(x+20)
x^2-17x-60=(x+3)(x-20)

引っかけ問題に使えそう・・・。


他にあったら教えて下さい。