図形問題の考え方（Ｔａｏ教授の手順）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

暖かくなりました。明日、明後日はもっと暖かくなるようです。

数学の図形問題や文章題で解き方が分からず思考が止まってしまう人が多いようです。そこで、今まで何回か紹介した　Ｔｅｒｅｎｃｅ　Ｔａｏ教授が、“ｓｏｌｖｉｎｇ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ”　のなかで、図形問題の解法手順を、例題を用いて解説しているので、それを紹介したいと思います。

例題は、“ＡＢＣ　ｉｓ　ａ　ｔｒｉａｎｇｌｅ　ｔｈａｔ　ｉｓ　ｉｎｓｃｒｉｂｅｄ　ｉｎ　ａ　ｃｉｒｃｌｅ．　　Ｔｈｅ　ａｎｇｌｅ　ｂｉｓｅｃｔｏｒｓ　ｏｆ　Ａ，Ｂ，Ｃ　ｍｅｅｔ　ｔｈｅ　ｃｉｒｃｌｅ　ａｔ　Ｄ，Ｅ，Ｆ，　ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．　Ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ＡＤ　ｉｓ　ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ　ｔｏ　ＥＦ．”　で、これは、１９８７年のＡｕｓｔｒａｌｉａｎ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｃｏｍｐｅｔｉｔｉｏｎで出題されたものです。

訳すと、「三角形ＡＢＣは円に内接していて、角Ａ、Ｂ、Ｃの二等分線が円と交わる点を、それぞれＤ、Ｅ、Ｆとします。そのとき、線分ＡＤと線分ＥＦが直交することを証明しなさい」　ということです。

まず、Ｔａｏ教授は、「図を描きなさい」　と言っています。そのとき、「名前を付けなさい」　とも言っています。この場合、交点に名前をつけると言うことですが、全ての交点ではなく、重要そうな交点に名前を付けます。

角Ａ、Ｂ、Ｃの角の二等分線は、三角形ＡＢＣの内心で交わるので、これは大切そうだということで、それを Ｉ とします。また、線分ＡＤと線分ＥＦとが直交することを証明するので、これらの交点は重要です。そこで、それを Ｍ とします。出来上がった図を下に示します。

▲例題

次に、Ｔａｏ教授は、問題を　「∠ＡＭＦ＝９０°を示す」　と言い換えます。この時点で、簡単に図が描けたし、結論は図から明白だから、上手く解けそうな問題と感じているようです。そして、直接的アプローチ（いろいろな角を組み合わせて∠ＡＭＦ＝９０°を示す方法）で攻略できると考えます。なぜならば、使われることを待っている定理が山ほどあるからです。例えば、三角形の内角の和が１８０°、円周角、内心、などなど。

そこで、主たる三角形ＡＢＣの３つの角を中心に展開する戦略を採ります。つまり、角Ａ＝α、角Ｂ＝β、角Ｃ＝γ、とします。当然、α＋β＋γ＝１８０°です。

すると、Ｍ を頂点とする角以外、実質的にすべての角がα、β、γを使って表せます。例えば、∠ＣＡＤ＝α/２のように。このとき、それらの角度を図に書き込みなさいとアドバイスしています。

ここで、Ｍ を頂点とする角を Ｍ と関係のない角を使って表すことを考えます。そこで、△ＭＩＦに注目して、
∠ＩＭＦ＝１８０°－∠ＭＩＦ－∠ＩＦＭ＝１８０°－∠ＡＩＦ－∠ＣＦＥ
を導きます。Ｔａｏ教授は、これは、前進だと言っています。なぜならば、∠ＡＩＦや∠ＣＦＥが Ｍ と関係ない角であり、これらは、α、β、γで表すことができそうだからです。実際に、∠ＡＩＦ＝１８０°－∠ＡＩＣ＝∠ＩＡＣ＋∠ＩＣＡ＝α/２＋γ/２で、∠ＣＦＥ＝∠ＣＢＥ＝β/２です。

そして最終的に、
∠ＩＭＦ＝１８０°－α/２－β/２－γ/２＝１８０°－１８０°/２＝９０°
（∠ＡＭＦ＝１８０°－∠ＩＭＦ＝９０°）
で証明終わりです。

Ｔａｏ教授は、感想として、“Ｔｈｉｓ　ｉｓ　ａ　ｌｏｖｅｌｙ　ｗａｙ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｓｏｍｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌ　ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ　：　ｂｙ　ｓｉｍｐｌｙ　ｗｏｒｋｉｎｇ　ｏｕｔ　ａｎｇｌｅｓ．”（これは図形問題を解く愉快な方法です。角を計算するだけだし）と言っています。

最後に手順をまとめると、
（１）図を描く
（２）適当に名前を付ける
（３）頻繁に使いそうな角の角度を文字で与える
（４）（知っている定理を思い出して）、他の角を（３）で決めた文字で表して図に書き入れる
（５）（知っている定理を思い出して）、文字で表した角度を使って証明したい角を表す
となります。

初めの（１）から（３）はできることです。（（３）については適切かわかりませんが）（４）も分かるものもあるかもしれません。（５）は、適切な定理を知っているかで決まるのでできなくても仕方ないです。つまり、（１）から（４）の途中までは、思考停止せず実行する努力をしましょう。そうしているうちに（５）もできるようになりますから。頑張ってください。