中間試験問題（中３数学）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

秋晴れのいい天気になりましたが、明日、明後日と雨模様になるようです。土曜日以降は回復して、いい天気が続くようです。

近隣の中学校で昨日から中間試験が始まったところがあって、塾生が数学の試験に出題された問題を持ってきました。

その問題は、
「（ｘ＋３）（ｙ＋３）＝３、（ｘ＋４）（ｙ＋４）＝１３　のとき、（ｘ＋５）（ｙ＋５）　の値を求めよ。」
です。

一見して、２つの条件式も、値を求める式も、ｘｙとｘ＋ｙの基本対称式で表わせるので、それらの値を求めれば、（ｘ＋５）（ｙ＋５）を簡単に計算できます。（もちろん、ｘ、ｙを求めることもできて、それから計算することもできます）

ここでは、基本対称式の値を求めて解いてみます。

まず、
（ｘ＋３）（ｙ＋３）＝３　　　　　（１）
（ｘ＋４）（ｙ＋４）＝１３　　　　（２）
Ａ＝（ｘ＋５）（ｙ＋５）　　　　　（３）
として、（１）から
ｘｙ＋３（ｘ＋ｙ）＋９＝３
ｘｙ＋３（ｘ＋ｙ）＝－６　　　　　（４）
で、（２）から
ｘｙ＋４（ｘ＋ｙ）＋１６＝１３
ｘｙ＋４（ｘ＋ｙ）＝－３　　　　　（５）
です。

（４）（５）から
ｘ＋ｙ＝３　　　　　　　　　　　　（６）
で、（４）（６）から
ｘｙ＝－１５　　　　　　　　　　　（７）
です。

一方、Ａは、
Ａ＝ｘｙ＋５（ｘ＋ｙ）＋２５
で、これに（６）（７）を代入して、
Ａ＝－１５＋５×３＋２５
　＝２５
となり、これが答えです。

次に、この問題を図で調べてみます。

ここで、Ｘ＝ｘ＋３、Ｙ＝ｙ＋３と変換して、（１）（２）（３）を書き直します。
　ＸＹ　　　　　　　＝３　　　　　（８）
（Ｘ＋１）（Ｙ＋１）＝１３　　　　（９）
Ａ＝（Ｘ＋２）（Ｙ＋２）　　　　　（１０）

これらの（８）（９）（１０）は、横と縦の長さが、それぞれ、ＸとＹ、Ｘ＋１とＹ＋１、Ｘ＋２とＹ＋２の長方形の面積を表わしているので、下のような図を描いてみます。

▲図．（８）（９）（１０）の長方形を描きました

この図から判るように、（８）と（９）の面積差は、緑色の長方形で表わしたＸと、黄色の長方形で表わしたＹと、赤色の正方形で表わした１なので、
Ｘ＋Ｙ＋１＝１３－３
で、これを整理して、
Ｘ＋Ｙ＝９　　　　　　　　　　　　（１１）
です。

さらに、（１０）（＝Ａ）と（９）の面積差は、緑色の長方形で表わしたＸと、黄色の長方形で表わしたＹと、赤色の正方形で表わした１が３個なので
Ｘ＋Ｙ＋３＝Ａ－１３
で、これを整理して、
Ａ＝Ｘ＋Ｙ＋１６　　　　　　　　　（１２）
で、これに（１１）を代入して、
Ａ＝９＋１６
　＝２５
と、先ほどの答えと一致しました。


式の計算で解いても、図を使って解いてもどちらでも良いのですが、お互いの関連性を調べてみると勉強になることも多いかと思います。