与えられた条件を上手く取り込むように補助線を引きましょう

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

東久留米は気温２６℃、湿度５０％と少し暑く感じますが、過ごしやすい天気になりました。文化祭を開催している高校も多く、何人かの塾生がその見学に行っています。

さて今回は、都立八王子東高校の入試問題です。

問題は、
「右の図の四角形ＡＢＣＤは、ＡＢ＝４ｃｍ、ＡＤ＝６ｃｍの長方形である。点Ｅは辺ＡＢの中点、点Ｆは辺ＡＤ上にあり、ＡＦ＝４ｃｍとする。
点Ｅと点Ｆ、点Ｅと頂点Ｃをそれぞれ結ぶ。
∠ＡＥＦ＝∠ａ、∠ＢＣＥ＝∠ｂとする。∠ａ－∠ｂの大きさを求めなさい。」

▲問題図

です。

都立高校の入学試験では、図形の角度を求める問題は定番ですが、本問は２つの角の角度差を求める問題です。

まず、与えられた条件図１のようにを問題図に書き込みます。

▲図１．与えられた条件を書き込みました

いくつかの補助線が思い浮かぶのですが、例えば、図２のように、ＦＧやＥＨに補助線を引いた場合は、ＡＧ＝６ｃｍの条件を取り込むことが難しそうです。

▲図２．補助線ＦＧとＥＨを引いてみました

そこで、図３のように、ＦＣに補助線を引いてみましょう。

▲図３．ＦＣに補助線を引きました

すると、
ＡＥ＝ＤＦ＝２ｃｍ
ＡＦ＝ＣＤ＝４ｃｍ
∠ＥＡＦ＝∠ＦＤＣ＝９０°
となり、
△ＡＥＦ≡△ＤＦＣ
となることが判ります。（これで上手くＡＤ＝６ｃｍの条件を取り込むことができました）

つまり、ＦＥ＝ＦＣなので、△ＦＥＣは二等辺三角形です。

さらに嬉しいことに、
∠ＥＦＣ＝１８０°－∠ＡＦＥ－∠ＣＦＤ
　　　　＝１８０°－（９０°－∠ａ）－∠ａ
　　　　＝９０°
なので、△ＦＥＣは直角二等辺三角形になるわけです。

したがって、
∠ＦＣＥ＝４５°
です。

最後に、∠ＢＣＤ＝９０°に着目して、
∠ＢＣＤ＝∠ＢＣＥ＋∠ＥＣＦ＋∠ＦＣＤ
　　　　＝∠ｂ＋４５°＋９０°－∠ａ
　　　　＝∠ｂ－∠ａ＋１３５°
　　　　＝９０°
から、
∠ａ－∠ｂ＝４５°
となり、これが答えです。


ついでに、高校で勉強する三角関数を利用した解き方を紹介します。（丁度、高校生の塾生が三角関数をやっていたので）

三角関数を使うと、補助線など考える必要がなく機械的に簡単に解くことができます。

まず、図２から、
ｔａｎａ＝４/２＝２　　　　　　　　　（１）
ｔａｎｂ＝２/６＝１/３　　　　　　　　（２）
です。

一方、加法定理から
ｔａｎ（ａ－ｂ）＝（ｔａｎａ－ｔａｎｂ）/（１＋ｔａｎａ・ｔａｎｂ）　　（３）
が成り立つので、（３）に（１）（２）を代入して、
ｔａｎ（ａ－ｂ）＝（２－１/３）/（１＋２・１/３）
　　　　　　　　＝（５/３）/（５/３）
　　　　　　　　＝１
で、０＜ａ－ｂ＜９０から、
ａ－ｂ＝４５°
となります。


数学の問題では、基本的に条件が過不足なく与えられている（つまり、与えられた条件を使わないと解けない）ので、与えられた条件を上手く取り込むことができるように補助線を引きましょう。