中学生でも手が届く京大入試問題（５５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成１７年度京大入試問題（前期、理系）です。

問題は、
「先頭車両から順に１からｎまでの番号がついたｎ両編成の列車がある。ただしｎ≧２とする。各車両を赤色、青色、黄色のいずれか１色で塗るとき、隣り合った車両の少なくとも１方が赤色となるような色の塗り方は何通りか。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

ｎ両目の車両が赤色である色の塗り方を

、ｎ両目の車両が赤色でない色の塗り方を

として、漸化式をつくりましょう。

ｎ＋１両目の車両が赤色である色の塗り方は、

で、ｎ＋１両目の車両が赤色でない色の塗り方は、

です。

（２）から

で、これを（１）に代入すると、

になります。

ここで、特性方程式

から、

が成り立ちます。

（３）から

が成り立ち、これらの辺々を掛けあわせると、

になります。

また（４）から

が成り立ち、これらの辺々を掛けあわせると、

になります。

ここで、

なので、（赤赤、青赤、黄赤の３通りと赤赤赤、赤青赤、赤黄赤、青赤赤、黄赤赤の５通り）（５）、（６）はそれぞれ

で、これらから

です。

すると、（２）から

です。

したがって、条件を満たす車両の色の塗り方は、

で、これが答えです。


簡単な問題です。