こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、２０１８年筑波大附属駒場中入試に出題された容積問題を取り上げます。
問題は、
「幅８０ｃｍ、奥行き１０ｃｍ、高さ５５ｃｍの直方体の水槽が水平に置かれています。この水槽は、図１のように、底面に垂直な２つの仕切りによって、３つの区画に分けられています。仕切りの高さはそれぞれ５０ｃｍで、区画の幅は左の区画が３０ｃｍ、中央の区画が２０ｃｍ、右の区画が３０ｃｍです。なお、それぞれの区画の底面は長方形です。
左の区画の上に蛇口Ａがあり、蛇口Ａから水槽に入る水の量は、毎分１．６Ｌです。また、右の区画の上に蛇口Ｂがあり、蛇口Ｂから１分あたりに水槽に入る水の量は、５分ごとに変化します。図２のグラフは、水を入れ始めてからの時間と、蛇口Ｂから１分あたりに入る水の量の関係を表しています。
水槽と仕切りの暑さは考えないものとして、次の問いに答えなさい。
（１） 水槽が空の状態から蛇口Ａだけを使って水を入れます。水を入れ始めてから２０分後のそれぞれの区画の水の高さは何ｃｍですか。
（２）水槽が空の状態から蛇口Ａ、蛇口Ｂの両方を使って水を入れます。２つの蛇口から同時に水を入れ始めるとき、
（ア） 左の区画と右の区画の水の高さが 初めて同じになる のは、水を入れ始めてから何分後ですか。
（イ） 水を入れ始めてから１０分後、中央の区画の水の高さは何ｃｍですか。
（ウ） 水槽から水があふれ始めるのは、水を入れ始めてから何分後ですか。」
です。
早速（１）から取り掛かりましょう。
蛇口Ａから毎分１．６Ｌの水が水槽に入るので、２０分間では、
１．６×２０＝３２（Ｌ）＝３２０００（ｃｍ3）
の水が水槽に入ります。
この水は、まず左の区画を満たし、その後、溢れた水が、中央の区画、さらに右の区画を満たしていきます。
ここで、
（左の区画の容積） ＝３０×１０×５０＝１５０００（ｃｍ3）＝１５（Ｌ）
（中央の区画の容積）＝２０×１０×５０＝１００００（ｃｍ3）＝１０（Ｌ）
（右の区画の容積） ＝３０×１０×５０＝１５０００（ｃｍ3）＝１５（Ｌ）
なので、３２Ｌ の水は、左の区画に１５Ｌ、中央の区画に１０Ｌ、右の区画に７Ｌ 配分されます。
したがって、左の区画の水の高さは ５０ｃｍ、中央の区画の水の高さは ５０ｃｍ、右の区画の水の高さは ７０００/（３０×１０）＝７０/３ｃｍ でこれが答えです。
続いて（２）の（ア）です。
それぞれの区画に入る水の量をを調べると、
５分後 ： 左の区画 １．６× ５＝ ８（Ｌ）/ 右の区画 ２×５ ＝１０（Ｌ）
１０分後 ： １．６×１０＝１６（Ｌ）/ ２×１０＝２０（Ｌ）
で、１０分後には右の区画の水はあふれていて、それまで左に区画の水の高さは右の区画の水の高さより低い状態が続きます。
つまり、２つの区画の水の高さが同じになるのは、左の区画の水の高さが５０ｃｍになるときで、そのときの水の量は１５Ｌです。
したがって、毎分１．６Ｌで１５Ｌにする時間 １５÷１．６＝１５０/１６＝７５/８（分）から、７５/８分後 が答えです。
（イ）です。
１０分間に水槽に入る水の量は、蛇口Ａから １．６×１０＝１６（Ｌ）、蛇口Ｂから ２×５＋１．５×５＝１７．５（Ｌ）です。
つまり、左側の区画から中央の区画に １６－１５＝１（Ｌ）の水があふれ出し、右側の区画から中央の区画に １７．５－１５＝２．５（Ｌ）の水があふれ出すことになり、中央の区画には合わせて１＋２．５＝３．５（Ｌ）の水が入ります。
ここで、中央の区画の底面積は、２０×１０＝２００（ｃｍ2）なので、３．５（Ｌ）が中央の区画に入ったときの水の高さは、３５００÷２００＝３５/２（ｃｍ）で、これが答えです。
最後の（ウ）です。
水槽の容積は、８０×１０×５５＝４４０００（ｃｍ3）＝４４（Ｌ）です。
ここで、水槽に入った水の量を５分ごとに調べていくと、
５分後 ： （１．６＋２）×５ ＝１８ （Ｌ）
１０分後 ： １８＋（１．６＋１．５）×５＝３３．５（Ｌ）
１５分後 ： ３３．５＋（１．６＋１）×５＝４６．５（Ｌ）
で、１０分以降１５分以前に水槽から水があふれれ出すことが判ります。
そして１０分後の水槽の水の量は３３．５Ｌであることから、この時点で ４４－３３．５＝１０．５（Ｌ）の余裕があります。
この１０．５Ｌの余裕に毎分（１．６＋１）＝２．６（Ｌ）の水を入れていくと、１０．５÷２．６＝１０５/２６（分）でそれは一杯になります。
したがって、水槽から水があふれ始めるのは １０＋１０５/２６＝３６５/２６（分）から、３６５/２６分後 が答えです。
簡単な問題です。
今回は、２０１８年筑波大附属駒場中入試に出題された容積問題を取り上げます。
問題は、
「幅８０ｃｍ、奥行き１０ｃｍ、高さ５５ｃｍの直方体の水槽が水平に置かれています。この水槽は、図１のように、底面に垂直な２つの仕切りによって、３つの区画に分けられています。仕切りの高さはそれぞれ５０ｃｍで、区画の幅は左の区画が３０ｃｍ、中央の区画が２０ｃｍ、右の区画が３０ｃｍです。なお、それぞれの区画の底面は長方形です。
左の区画の上に蛇口Ａがあり、蛇口Ａから水槽に入る水の量は、毎分１．６Ｌです。また、右の区画の上に蛇口Ｂがあり、蛇口Ｂから１分あたりに水槽に入る水の量は、５分ごとに変化します。図２のグラフは、水を入れ始めてからの時間と、蛇口Ｂから１分あたりに入る水の量の関係を表しています。
水槽と仕切りの暑さは考えないものとして、次の問いに答えなさい。
（１） 水槽が空の状態から蛇口Ａだけを使って水を入れます。水を入れ始めてから２０分後のそれぞれの区画の水の高さは何ｃｍですか。
（２）水槽が空の状態から蛇口Ａ、蛇口Ｂの両方を使って水を入れます。２つの蛇口から同時に水を入れ始めるとき、
（ア） 左の区画と右の区画の水の高さが 初めて同じになる のは、水を入れ始めてから何分後ですか。
（イ） 水を入れ始めてから１０分後、中央の区画の水の高さは何ｃｍですか。
（ウ） 水槽から水があふれ始めるのは、水を入れ始めてから何分後ですか。」
です。
早速（１）から取り掛かりましょう。
蛇口Ａから毎分１．６Ｌの水が水槽に入るので、２０分間では、
１．６×２０＝３２（Ｌ）＝３２０００（ｃｍ3）
の水が水槽に入ります。
この水は、まず左の区画を満たし、その後、溢れた水が、中央の区画、さらに右の区画を満たしていきます。
ここで、
（左の区画の容積） ＝３０×１０×５０＝１５０００（ｃｍ3）＝１５（Ｌ）
（中央の区画の容積）＝２０×１０×５０＝１００００（ｃｍ3）＝１０（Ｌ）
（右の区画の容積） ＝３０×１０×５０＝１５０００（ｃｍ3）＝１５（Ｌ）
なので、３２Ｌ の水は、左の区画に１５Ｌ、中央の区画に１０Ｌ、右の区画に７Ｌ 配分されます。
したがって、左の区画の水の高さは ５０ｃｍ、中央の区画の水の高さは ５０ｃｍ、右の区画の水の高さは ７０００/（３０×１０）＝７０/３ｃｍ でこれが答えです。
続いて（２）の（ア）です。
それぞれの区画に入る水の量をを調べると、
５分後 ： 左の区画 １．６× ５＝ ８（Ｌ）/ 右の区画 ２×５ ＝１０（Ｌ）
１０分後 ： １．６×１０＝１６（Ｌ）/ ２×１０＝２０（Ｌ）
で、１０分後には右の区画の水はあふれていて、それまで左に区画の水の高さは右の区画の水の高さより低い状態が続きます。
つまり、２つの区画の水の高さが同じになるのは、左の区画の水の高さが５０ｃｍになるときで、そのときの水の量は１５Ｌです。
したがって、毎分１．６Ｌで１５Ｌにする時間 １５÷１．６＝１５０/１６＝７５/８（分）から、７５/８分後 が答えです。
（イ）です。
１０分間に水槽に入る水の量は、蛇口Ａから １．６×１０＝１６（Ｌ）、蛇口Ｂから ２×５＋１．５×５＝１７．５（Ｌ）です。
つまり、左側の区画から中央の区画に １６－１５＝１（Ｌ）の水があふれ出し、右側の区画から中央の区画に １７．５－１５＝２．５（Ｌ）の水があふれ出すことになり、中央の区画には合わせて１＋２．５＝３．５（Ｌ）の水が入ります。
ここで、中央の区画の底面積は、２０×１０＝２００（ｃｍ2）なので、３．５（Ｌ）が中央の区画に入ったときの水の高さは、３５００÷２００＝３５/２（ｃｍ）で、これが答えです。
最後の（ウ）です。
水槽の容積は、８０×１０×５５＝４４０００（ｃｍ3）＝４４（Ｌ）です。
ここで、水槽に入った水の量を５分ごとに調べていくと、
５分後 ： （１．６＋２）×５ ＝１８ （Ｌ）
１０分後 ： １８＋（１．６＋１．５）×５＝３３．５（Ｌ）
１５分後 ： ３３．５＋（１．６＋１）×５＝４６．５（Ｌ）
で、１０分以降１５分以前に水槽から水があふれれ出すことが判ります。
そして１０分後の水槽の水の量は３３．５Ｌであることから、この時点で ４４－３３．５＝１０．５（Ｌ）の余裕があります。
この１０．５Ｌの余裕に毎分（１．６＋１）＝２．６（Ｌ）の水を入れていくと、１０．５÷２．６＝１０５/２６（分）でそれは一杯になります。
したがって、水槽から水があふれ始めるのは １０＋１０５/２６＝３６５/２６（分）から、３６５/２６分後 が答えです。
簡単な問題です。
