単位分数分解（麻布中）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

明日から下り坂になるようですが、今日は良い天気になりました。

昨日は灘中の入試問題を紹介しましたが、今日は麻布中の算数の問題です。麻布中の入試問題は算数に限らず面白いものが多く結構楽しめます。

早速問題です。
「次の【例】のように、ある分数を、分子が１で分母が異なるいくつかの分数の和でかき表すことを考えます。

【例】２/３＝１/２＋１/６、２/３＝１/３＋１/４＋１/１２など
１３/２０＝１/２＋３/２０＝１/２＋１/７＋１/１４０、
１３/２０＝（１０＋２＋１）/２０＝１/２＋１/１０＋１/２０など

次の（１）、（２）の分数について、このような表し方を１つ答えなさい。
（１）１３/１８　　　
（２）５/１３　」

問題に取り掛かる前に、問題のなかの分子が１の分数を単位分数と言います。（どうでも良いことなのですが）

それでは料理に掛かりましょう。まず、問題を読んで目に付くのが、【例】や問いの１３という数字で、それを手掛かりにしたくなるところです。しかし、【例】のように、
１３/１８＝（１０＋２＋１）/１８＝５/９＋１/９＋１/１８
としても、５/９の始末が上手くいきません。

さらに、（２）では１３が分母にあるので１３に拘るのは止めたほうが良さそうです。

そこで、
１３/１８＝１／ａ＋１/ｂ＋１/ｃ＋・・・　　　　〈１〉
と表せたとするとどうなるかを考えて見ます。

〈１〉の右辺を変形すると、分母は、ａｂｃ・・・　となり、
１８＝ａｂｃ・・・　　　　〈２〉
が成り立つような　ａ、ｂ、ｃ、・・・が見つかればお仕舞いです。〈２〉は、ａ、ｂ、ｃ、・・・　が１８の約数ということを表しているので、
１８の約数１、２、３、６、９、１８　と、０または１であるａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆ　を使って、
１３/１８＝ａ×１/１＋ｂ×１/２＋ｃ×１/３＋ｄ×１/６＋ｅ×１/９＋ｆ×１/１８
　　　　 ＝ａ×１８/１８＋ｂ×９/１８＋ｃ×６/１８＋ｄ×３/１８＋ｅ×２/１８＋ｆ×１/１８
と変形します。

そして、ここで分子に注目すると、
１３＝１８ａ＋９ｂ＋６ｃ＋３ｄ＋２ｅ＋ｆ　　
となります。つまり、ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆ　に０か１を割り振り、右辺を１３にすることができるかどうかという問題になります。これを言い換えると、１８の約数をいくつか使って、それらの和を１３にすることができるか、ということです。

問（１）の１３/１８の場合は、１３＝９＋３＋１　と表すことができます。つまり、
１３/１８＝９/１８＋３/１８＋１/１８
　　　　 ＝１/２＋１/６＋１/１８
となり、１３/１８を単位分数の和で表すことができました。

問（２）の５/１３を同じように解こうとすると、１３の約数は１と１３なのでこの２数から５は作れないので上手くいきません。こんなときには、５/１３を２倍して１０/２６とし、２６の約数１、２、１３、２６の４数から１０を作ることを考えますが、この場合も、これらの４数から１０を作ることができません。

しかし、ここで諦めず、さらに３、４倍とします。３倍でも上手くいかないのですが、４倍の２０/５２では、５２の約数１、２、４、１３、２６、５２を使って、２０＝１３＋４＋２＋１　と２０を作ることができます。つまり、
５/１３＝２０/５２
　　　 ＝１３/５２＋４/５２＋２/５２＋１/５２
　　　 ＝１/４＋１/１３＋１/２６＋１/５２
となり、正解することができました。

ここで問１に戻って１３/１８を２倍した２６/３６を考えてみます。３６は、１、２、３、４、６、９、１２、１８、３６　ですから、これらの９数のいくつかを使って２６を作ると、２６＝１８＋６＋２　が見つかるのですが、
２６/３６＝１８/３６＋６/３６＋２/３６
　　　　 ＝１/２＋１/６＋１/１８
となり、初めの答えと同じものになります。

これと異なる組み合わせは、２６＝１２＋９＋４＋１　があり、
２６/３６＝１２/３６＋９/３６＋４/３６＋１/３６
　　　　 ＝１/３＋１/４＋１/９＋１/３６

さらに、２６＝１２＋６＋４＋３＋１　もあるので、
２６/３６＝１２/３６＋６/３６＋４/３６＋３/３６＋１/３６
　　　　 ＝１／３＋１/６＋１/９＋１/１２＋１/３６
と表すことも可能です。

知ってしまえば簡単ですが、初見で短時間に解くのは大変です。解き方を頭の引出しに入れておきましょう。