中学入試問題Ｒ３（６）[灘中]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和３年度灘中の問題です。

問題は、
「Ａは２桁の整数で、Ａ×Ａを１５で割ると１余ります。このようなＡは全部で[　　　]個あります。」
です。

３で割って１余る整数と５で割って１余る整数の共通するものを数えてもＯＫですが（最後に【略解】を掲げました）、ここでは１５で割ったときの余りを利用することにします。

１５で割ったときの余りがｒ（０≦ｒ≦１４）になる整数を〈ｒ〉で表すことにすると、
〈１〉　×〈１〉　＝〈１〉
〈２〉　×〈２〉　＝〈４〉
〈３〉　×〈３〉　＝〈９〉
〈４〉　×〈４〉　＝〈１〉
〈５〉　×〈５〉　＝〈１０〉
〈６〉　×〈６〉　＝〈６〉
〈７〉　×〈７〉　＝〈４〉
〈８〉　×〈８〉　＝〈４〉
〈９〉　×〈９〉　＝〈６〉
〈１０〉×〈１０〉＝〈１０〉
〈１１〉×〈１１〉＝〈１〉
〈１２〉×〈１２〉＝〈９〉
〈１３〉×〈１３〉＝〈４〉
〈１４〉×〈１４〉＝〈１〉
になります。
《例えば、１５で割ったときの余りが１４の２つの整数の積は、
（１５の倍数）＋１４×１４＝（１５の倍数）＋１９６
　　　　　　　　　　　　　＝（１５の倍数）＋１５×１３＋１
　　　　　　　　　　　　　＝（１５の倍数）＋１
で、これから１５で割ったときの余りが１になります》

このことから、Ａ×Ａを１５で割ったときの余りが１になるＡは、上記の青色でマークしたもの、つまり、
● Ａを１５で割ったときの余りが１、４、１１、１４になる整数
になります。

ここで、Ａは２桁の整数なので、１５で割ったときの余りが１、４、１１、１４になる整数の個数はそれぞれ、
・ １５で割ったときの余りが１になるＡの個数
　１５ｋ＋１が１０以上９９以下になるのは、ｋ＝１，２，３，４，５，６の６個

・１５で割ったときの余りが４になるＡの個数
　１５ｋ＋４が１０以上９９以下になるのは、ｋ＝１，２，３，４，５，６の６個

・ １５で割ったときの余りが１１になるＡの個数
　１５ｋ＋１１が１０以上９９以下になるのは、ｋ＝０，１，２，３，４，５の６個

・ １５で割ったときの余りが１４になるＡの個数
　１５ｋ＋１４が１０以上９９以下になるのは、ｋ＝０，１，２，３，４，５の６個
になり、したがって、合計６×４＝ ２４（個）で、これが答えです。

【略解】
Ａの一の位が１、４、６または９の場合、Ａ×Ａを５で割ったときの余りは１になり、Ａを３で割ったときの余りが１または２の場合、Ａ×Ａを３で割ったときの余りは１になります。

したがって、Ａ×Ａを１５で割ったときの余りが１になるのは、２桁の整数Ａの一の位が１、４、６または９、かつ、３の倍数ではない、つまり一の位の数と十の位の数の和が３の倍数にならないもので、それらを列挙すると、
１１、３１、４１、６１、７１，９１
１４、３４、４４、６４、７４、９４
１６、２６、４６、５６、７６、８６
１９、２９、４９、５９、７９、８９
で、合計２４個です。


簡単な問題です。