整数問題（２９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、整数問題です。

問題は、
「 ｘ、ｙ、ｚ は自然数で、 ｘ！＋ｙ！＝ｚ！ を満たすとき、ｘ、ｙ、ｚのすべての組合せを求めよ。」
です。

ｘ！＋ｙ！＝ｚ！　　　　　　（１）
から
ｚ！＝ｘ！＋ｙ！≧１！＋１！＝２
なので、
ｚ≧２　　　　　　　　　　　（２）
です。

また、
ｚ！＝ｘ！＋ｙ！＞ｘ！
から
ｚ＞ｘ　　　　　　　　　　　（３）
で、同様に、
ｚ＞ｙ　　　　　　　　　　　（４）
です。

さらに ｘ、ｙ、ｚは自然数なので、（３）と（４）から
ｚ－１≧ｘ　　　　　　　　　（５）
ｚ－１≧ｙ　　　　　　　　　（６）
が成り立ちます。

ここで、ｚ≧３とすると、
ｚ！≧３×（ｚ－１）！
　　＝（ｚ－１）！＋（ｚ－１）！＋（ｚ－１）！
　　≧ｘ！＋ｙ！＋（ｚ－１）！　　〔←（５）と（６）を使いました〕
　　＞ｘ！＋ｙ！
になり、（１）は成り立たちません。

したがって、ｚ＝１ または ２で、さらに（２）から ｚ＝２です。

すると、（３）、（４）から ｘ＝ｙ＝１ で、これは（１）を満たします。

以上から、ｘ、ｙ、ｚ の組合せ（ｘ，ｙ，ｚ）は、（１，１，２）で、これが答えです。


ｘ、ｙが自然数なので、ｚ＞ｘ，ｙ から ｚ－１≧ｘ，ｙ になることを覚えておくといいでしょう。