日本数学オリンピックの簡単な問題（１０１－１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

時折、強めの北風が吹きますが、それほど冷たくはなく、晴れて過ごしやすい日になりました。明日も同じような天気で、明後日は高気圧と入れ替わりに前線を伴った低気圧が近づいてくるので、雨模様になるようです。

さて、今回は２０１５年数学オリンピック予選に出題された数の問題を取り上げます。

問題は、
「正の整数ａ、ｂ、ｃが次の４つの条件をみたすとする：
●ａ、ｂ、ｃの最大公約数は１である。
●ａ、ｂ＋ｃの最大公約数は１より大きい。
●ｂ、ｃ＋ａの最大公約数は１より大きい。
●ｃ、ａ＋ｂの最大公約数は１より大きい。
このとき、ａ＋ｂ＋ｃのとりうる最小の値を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

４つの条件は、
（１）ａ、ｂ、ｃの最大公約数は１である。　　　→ａ、ｂ、ｃのいずれか１組以上が互いに素
（２）ａ、ｂ＋ｃの最大公約数は１より大きい。　→ａ、ｂ＋ｃの最大公約数をＧ1とすると、ａ＋ｂ＋ｃはＧ1の倍数（Ｇ1≧２）
（３）ｂ、ｃ＋ａの最大公約数は１より大きい。　→ｂ、ｃ＋ａの最大公約数をＧ2とすると、ａ＋ｂ＋ｃはＧ2の倍数（Ｇ2≧２）
（４）ｃ、ａ＋ｂの最大公約数は１より大きい。　→ｃ、ａ＋ｂの最大公約数をＧ3とすると、ａ＋ｂ＋ｃはＧ3の倍数（Ｇ3≧２）
と言い換えることができます。

ここで、Ｇ1、Ｇ2の最大公約数ｇ（≧２）が存在したとすると、
（２）から、
ａ＝ｋＧ1＝ｋ’ｇ　　　　　　　[１]
ｂ＋ｃ＝ｌＧ1＝ｌ’ｇ　　　　　[２]
で、（３）から、
ｂ＝ｍＧ2＝ｍ’ｇ　　　　　　　[３]
になります。ここで、ｋ、ｋ’、ｌ、ｌ’、ｍ、ｍ’は正の整数です。

このとき、[１]と[３]から、ｇはａとｂを割り切り、さらにｇがｂを割り切ることと[２]から、ｇはｃを割り切ることになり、これは（１）に反します。

したがって、Ｇ1とＧ2は互いに素になります。

これはＧ2とＧ3、Ｇ3とＧ1についても同様で、Ｇ1、Ｇ2、Ｇ3は互いに素になります。

すると、（２）（３）（４）から、ａ＋ｂ＋ｃはＧ1×Ｇ2×Ｇ3の倍数になり、
ａ＋ｂ＋ｃ≧Ｇ1×Ｇ2×Ｇ3≧２×３×５＝３０
が成り立ちます。

一方、ａ＝２、ｂ＝３、ｃ＝２５ の組合せは、（１）（２）（３）（４）をみたすので、ａ＋ｂ＋ｃのとりうる最小の値は３０になります。


簡単な問題です。