中学入試問題Ｈ３１（１３）〔灘中〕

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３１年度灘中入試問題を取り上げます。

問題は、
「４桁の整数Ａは百の位の数字が０です。Ａの十の位の数字と一の位の数字を入れ替えて４桁の整数Ｂを作ります。４０１８と４０８１のようにＡもＢも７の倍数となるようなＡは全部で何個ありますか。次の〔ヒント〕を参考にして答えなさい。ただし、４０１８と４０８１の２個を含め、ＡとＢが等しい場合も含めます。

　　　　〔ヒント〕　４０８１－４０１８＝６３＝９×７＝９×（８－１）
　　　　　　　　　　４０８２－４０２８＝５４＝９×６＝９×（８－２）
　　　　　　　　　　１０００＝７×１４３－１　　　　　　　　　　　　　」
です。

Ａ＝１０００ａ＋１０ｂ＋ｃ　（１≦ａ≦９、０≦ｂ，ｃ≦９、ａ、ｂ、ｃは整数）
とすると、
Ｂ＝１０００ａ＋１０ｃ＋ｂ
になります。

ここで〔ヒント〕を参考にして、Ａ－Ｂを計算すると、
Ａ－Ｂ＝１０００ａ＋１０ｂ＋ｃ－（１０００ａ＋１０ｃ＋ｂ）
　　　＝９ｂ－９ｃ
　　　＝９（ｂ－ｃ）
になり、仮にＡが７の倍数の場合、Ｂが７の倍数になるのは、ｂ－ｃ が７の倍数のときであることが判ります。

続いて、Ａが７の倍数になる場合を調べましょう。

〔ヒント〕を参考にしてＡを変形すると、
Ａ＝（７×１４３－１）ａ＋１０ｂ＋ｃ
　＝７×１４３ａ－ａ＋１０ｂ＋ｃ
から、Ａが７の倍数になるのは、－ａ＋１０ｂ＋ｃ が７の倍数のときであることが判ります。

以上をまとめると、問題に与えられた条件に従うＡとＢがともに７の倍数になるためには、
（１） ｂ－ｃ が７の倍数
（２） －ａ＋１０ｂ＋ｃ が７の倍数
になることになります。

それでは、まず（１）を調べましょう。

ｂ－ｃ が７の倍数になるのは、表１の○でマークしたｂ、ｃの組です。

▲表１．○でマークしたｂ、ｃの組のときｂ－ｃは７の倍数です

次に（２）を調べましょう。

表２に、表１の○でマークしたｂ、ｃのそれぞれの組について、（２）を満たすａの値を書き入れました。

▲表２．○でマークしたｂ、ｃの組について（２）を満たすａの値を書き入れました

例えば、（ｂ，ｃ）＝（０，０）の「７」は ａ＝７を表していて、これから Ａ＝７０００になり、（２，９）の「１，８」は、ａ＝１または８を表していて、これから Ａ＝１０２９または８０２９になります。

つまり、表２に書き入れたａの個数がＡの個数と同じになり、そのａの個数は２１個です。

したがって、Ａの個数は ２１個 で、これが答えです。


簡単な問題です。