こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
ここ数日の良い天気とは違って、雲が多く少し風もある日になりました。雨は降らないようですが、明日も曇りになるようです。
さて、今回は平成２２年度東大大学院新領域創成科学研究科海洋技術環境学の入試問題で、
問題は、
「３次元直交座標系ｘ、ｙ、ｚにおける次の４点を頂点とする四面体の体積を求めなさい。
Ａ（０，１，１）、Ｂ（１，１，３）、Ｃ（４，７，３）、Ｄ（３，４，－５） 」
です。
四面体の体積を求める方法は、ベクトルの外積・内積を使う方法、行列式を使う方法などがありますが、ここでは、３個の頂点で決まる平面を底面とし、残りの頂点と底面との距離を求めて、四角錐の体積を計算しましょう。
図１に、問題に与えられた４個の頂点とそれらによって作られる四角錐を示します。
▲図１．４弧の頂点と四角錐
ここで、図２に示すように、頂点Ａを原点に平行移動します。すると、 Ｂ（１，０，２）、Ｃ（４，６，２）、Ｄ（３，３，－６）になります。
▲図２．頂点Ａを原点に平行移動しました
準備ができたところで、まず、四角錐の底面を△ＢＣＤとしてその面積を求めます。底面の三角形の底辺をＢＣとすると、
ＢＣ＝√（（４－１）^2＋（６－０）^2＋（２－２）^2）
＝３√５
です。
次に直線ＢＣの式は、
ｙ＝２ｘ－２
ｚ＝２
です。
そこで、直線ＢＣ上の点Ｐ（ｐ，２ｐ－２、２）として、頂点Ｄと点Ｐとの距離をＬとすると、
Ｌ^2＝（ｐ－３）^2＋（２ｐ－２－３）^2＋（２－（－６））^2
＝５ｐ^2－２６ｐ＋９８
＝５（ｐ－１３/５）^2＋３２１/５
となります。
これから、頂点Ｄから直線ＢＣまでの距離、つまり、△ＢＣＤで辺ＢＣを底辺としたときの高さｈは、
ｈ＝√（３２１/５）
になります。
したがって、△ＢＣＤの面積Ｓは、
Ｓ＝１/２・３√５・√（３２１/５）
＝３/２・√３２１
です。
続いて、頂点Ａと底面ＢＣＤとの距離を求めましょう。そのためには、平面ＢＣＤの式が必要なので、それを
ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０ （１）
とします。
この平面上に頂点Ｂ、Ｃ、Ｄがあることから、
ａ ＋２ｃ＋ｄ＝０
４ａ＋６ｂ＋２ｃ＋ｄ＝０
３ａ＋３ｂ－６ｃ＋ｄ＝０
が成り立ちます。
これらから、
ｂ＝－ａ/２
ｃ＝ａ/１６
ｄ＝－９ａ/８
となり、これらを（１）に代入し整理すると、平面ＢＣＤの式は、
１６ｘ－８ｙ＋ｚ－１８＝０
となります。
次に、頂点Ａと平面ＢＣＤとの距離を求めるのですが、前回のように平面上の点Ｑ（ｓ、ｔ、－１６ｓ＋８ｔ＋１８）として、ＡＱの距離Ｌ’をｓとｔで表し、平方完成を２回することで、ＡＱの最小値を求めることができます。
この結果だけを紹介すると、
Ｌ’＝ｓ^2＋ｔ^2＋（－１６ｓ＋８ｔ＋１８）^2
＝２５７（ｓ－３２（４ｔ＋９）/２５７）^2＋３２１/２５７・（ｔ＋４８/１０７）^2＋１０８/１０７
となり、これから頂点Ａと平面ＢＣＤとの距離は、√（１０８/１０７）（＝１８/√３２１）です。
ここでは、前回紹介した点（ｘ0，ｙ0，ｚ0）と平面ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０との距離の公式
ｌａｘ0＋ｂｙ0＋ｃｚ0＋ｄｌ/√（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）
を使いましょう。
ｘ0＝ｙ0＝ｚ0＝０、ａ＝１６、ｂ＝－８、ｃ＝１なので、頂点Ａと平面ＢＣＤとの距離Ｌ”は、
Ｌ”＝ｌ０＋０＋０－１８ｌ/√（２５６＋６４＋１）
＝１８/√３２１
です。
以上から、四角錐ＡＢＣＤの体積Ｖは、
Ｖ＝１/３・３/２・√３２１・１８/√３２１
＝９
となり、これが答えです。
ついでに行列式を使う方法も紹介します。
四角錐の１つの頂点を原点にして、残りの３個の頂点の座標値を並べて行列Ｍを作ります。すると、四角錐の体積Ｖは、
Ｖ＝１/６ｌｄｅｔ（Ｍ）ｌ
となります。ここで、ｌｄｅｔ（Ｍ）ｌは、行列Ｍの行列式の絶対値を表します。
本問では、頂点Ａを原点にすると、Ｂ（１，０，２）、Ｃ（４，６，２）、Ｄ（３，３，－６）なので、行列Ｍは図３のようになります。
▲図３．行列式を使う方法
すると、
ｄｅｔ（Ｍ）＝１・６・（－６）＋０・２・３＋２・３・４－２・６・３－０・４・（－６）－１・３・２ ←（サラスの公式を使いました）
＝－３６＋２４－３６－６
＝－５４
で、四面体の体積Ｖは、
Ｖ＝１/６・ｌ－５４ｌ
＝９
と簡単に計算することができます。
最後の行列式を使った方法は、平面上での三角形の面積にも使えます。三角形の１つの頂点を原点に平行移動させて、残りの２個の頂点を（ｘ1，ｙ1）、（ｘ2，ｙ2）とすると、三角形の面積Ｓは、Ｓ＝１/２・ｌｄｅｔ（Ｍ）ｌ＝１/２・ｌｘ1ｙ2－ｘ2ｙ1ｌになります。興味のある人は確かめてみて下さい。
ここ数日の良い天気とは違って、雲が多く少し風もある日になりました。雨は降らないようですが、明日も曇りになるようです。
さて、今回は平成２２年度東大大学院新領域創成科学研究科海洋技術環境学の入試問題で、
問題は、
「３次元直交座標系ｘ、ｙ、ｚにおける次の４点を頂点とする四面体の体積を求めなさい。
Ａ（０，１，１）、Ｂ（１，１，３）、Ｃ（４，７，３）、Ｄ（３，４，－５） 」
です。
四面体の体積を求める方法は、ベクトルの外積・内積を使う方法、行列式を使う方法などがありますが、ここでは、３個の頂点で決まる平面を底面とし、残りの頂点と底面との距離を求めて、四角錐の体積を計算しましょう。
図１に、問題に与えられた４個の頂点とそれらによって作られる四角錐を示します。
▲図１．４弧の頂点と四角錐
ここで、図２に示すように、頂点Ａを原点に平行移動します。すると、 Ｂ（１，０，２）、Ｃ（４，６，２）、Ｄ（３，３，－６）になります。
▲図２．頂点Ａを原点に平行移動しました
準備ができたところで、まず、四角錐の底面を△ＢＣＤとしてその面積を求めます。底面の三角形の底辺をＢＣとすると、
ＢＣ＝√（（４－１）^2＋（６－０）^2＋（２－２）^2）
＝３√５
です。
次に直線ＢＣの式は、
ｙ＝２ｘ－２
ｚ＝２
です。
そこで、直線ＢＣ上の点Ｐ（ｐ，２ｐ－２、２）として、頂点Ｄと点Ｐとの距離をＬとすると、
Ｌ^2＝（ｐ－３）^2＋（２ｐ－２－３）^2＋（２－（－６））^2
＝５ｐ^2－２６ｐ＋９８
＝５（ｐ－１３/５）^2＋３２１/５
となります。
これから、頂点Ｄから直線ＢＣまでの距離、つまり、△ＢＣＤで辺ＢＣを底辺としたときの高さｈは、
ｈ＝√（３２１/５）
になります。
したがって、△ＢＣＤの面積Ｓは、
Ｓ＝１/２・３√５・√（３２１/５）
＝３/２・√３２１
です。
続いて、頂点Ａと底面ＢＣＤとの距離を求めましょう。そのためには、平面ＢＣＤの式が必要なので、それを
ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０ （１）
とします。
この平面上に頂点Ｂ、Ｃ、Ｄがあることから、
ａ ＋２ｃ＋ｄ＝０
４ａ＋６ｂ＋２ｃ＋ｄ＝０
３ａ＋３ｂ－６ｃ＋ｄ＝０
が成り立ちます。
これらから、
ｂ＝－ａ/２
ｃ＝ａ/１６
ｄ＝－９ａ/８
となり、これらを（１）に代入し整理すると、平面ＢＣＤの式は、
１６ｘ－８ｙ＋ｚ－１８＝０
となります。
次に、頂点Ａと平面ＢＣＤとの距離を求めるのですが、前回のように平面上の点Ｑ（ｓ、ｔ、－１６ｓ＋８ｔ＋１８）として、ＡＱの距離Ｌ’をｓとｔで表し、平方完成を２回することで、ＡＱの最小値を求めることができます。
この結果だけを紹介すると、
Ｌ’＝ｓ^2＋ｔ^2＋（－１６ｓ＋８ｔ＋１８）^2
＝２５７（ｓ－３２（４ｔ＋９）/２５７）^2＋３２１/２５７・（ｔ＋４８/１０７）^2＋１０８/１０７
となり、これから頂点Ａと平面ＢＣＤとの距離は、√（１０８/１０７）（＝１８/√３２１）です。
ここでは、前回紹介した点（ｘ0，ｙ0，ｚ0）と平面ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０との距離の公式
ｌａｘ0＋ｂｙ0＋ｃｚ0＋ｄｌ/√（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）
を使いましょう。
ｘ0＝ｙ0＝ｚ0＝０、ａ＝１６、ｂ＝－８、ｃ＝１なので、頂点Ａと平面ＢＣＤとの距離Ｌ”は、
Ｌ”＝ｌ０＋０＋０－１８ｌ/√（２５６＋６４＋１）
＝１８/√３２１
です。
以上から、四角錐ＡＢＣＤの体積Ｖは、
Ｖ＝１/３・３/２・√３２１・１８/√３２１
＝９
となり、これが答えです。
ついでに行列式を使う方法も紹介します。
四角錐の１つの頂点を原点にして、残りの３個の頂点の座標値を並べて行列Ｍを作ります。すると、四角錐の体積Ｖは、
Ｖ＝１/６ｌｄｅｔ（Ｍ）ｌ
となります。ここで、ｌｄｅｔ（Ｍ）ｌは、行列Ｍの行列式の絶対値を表します。
本問では、頂点Ａを原点にすると、Ｂ（１，０，２）、Ｃ（４，６，２）、Ｄ（３，３，－６）なので、行列Ｍは図３のようになります。
▲図３．行列式を使う方法
すると、
ｄｅｔ（Ｍ）＝１・６・（－６）＋０・２・３＋２・３・４－２・６・３－０・４・（－６）－１・３・２ ←（サラスの公式を使いました）
＝－３６＋２４－３６－６
＝－５４
で、四面体の体積Ｖは、
Ｖ＝１/６・ｌ－５４ｌ
＝９
と簡単に計算することができます。
最後の行列式を使った方法は、平面上での三角形の面積にも使えます。三角形の１つの頂点を原点に平行移動させて、残りの２個の頂点を（ｘ1，ｙ1）、（ｘ2，ｙ2）とすると、三角形の面積Ｓは、Ｓ＝１/２・ｌｄｅｔ（Ｍ）ｌ＝１/２・ｌｘ1ｙ2－ｘ2ｙ1ｌになります。興味のある人は確かめてみて下さい。
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