日本数学オリンピックの簡単な問題（３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

現在の東久留米の気温は２６℃で午後には２８℃に達する予想です。晩には、「真田丸」を観ながら素麺を食べることにします。

さて、今回は２０１３年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「３つの正の整数ｘ、ｙ、ｚの最小公倍数が２１００であるとき、ｘ＋ｙ＋ｚとしてありうる最小の値を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

まず、２１００を素因数分解すると、

です。

したがって、ｘ、ｙ、ｚは

という形で表すことが」できます。

そこで、ｘ、ｙ、ｚを

とすると、
０≦ａ，ｅ，ｉ≦２、ａ、ｅ、ｉのうち少なくとも１つは２
０≦ｂ，ｆ，ｊ≦１、ｂ、ｆ、ｊのうち少なくとも１つは１
０≦ｃ，ｇ，ｋ≦２、ｃ、ｇ、ｋのうち少なくとも１つは２
０≦ｄ，ｈ，ｌ≦１、ｄ、ｈ、ｌのうち少なくとも１つは１
のとき、ｘ、ｙ、ｚの最小公倍数は２１００になります。

さらに、ｘ＋ｙ＋ｚが取り得る最小値を求めるので、
ａ、ｅ、ｉのうち１つが２で他は０
ｂ、ｆ、ｊのうち１つが１で他は０
ｃ、ｇ、ｋのうち１つが２で他は０
ｄ、ｈ、ｌのうち１つが１で他は０
になります。

つまり、

を構成する４組の数（２^2、３、５^2、７）を、どのようにｘ、ｙ、ｚに振り分ければ、ｘ＋ｙ＋ｚを最小にできるかということになります。

そこで、
Ｓ（ｎ）＝ｘ＋ｙ＋ｚ　　（ｎ＝１，２，３，４）
とし、このＳ（ｎ）に２^2＝４、３、５^2＝２５、７の４つの数を大きい順（２５→７→４→３）に代入してＳ（４）を最小とするｘ、ｙ、ｚの組合せを見つけます。

まず、初めに２５を代入するのですが、ｘ、ｙ、ｚのどれに代入してもＳ（１）の値は同じですから、ここではｘに代入し、
Ｓ（１）＝２５＋ｙ＋ｚ
です。

そして、繰り返しｘに代入できるように、
Ｓ（２）＝２５ｘ＋ｙ＋ｚ
とします。

次に、７を代入するのですが、Ｓ（２）をｘの関数とみたとき、その変化の割合は２５であるのに対し、Ｓ（２）をｙまたはｚの関数とみたとき、その変化の割合は１でです。

つまり、７をｘに代入するより、ｙまたはｚに代入するほうがＳ（２）を小さくすることができます。

そこで、ここでは７をｙに代入し、
Ｓ（２）＝２５ｘ＋７＋ｚ
とします。

そして、
Ｓ（３）＝２５ｘ＋７ｙ＋ｚ
とします。

続いて、４を代入するのですが、Ｓ（３）をｘ、ｙの関数とみたとき、それぞれの変化の割合は２５と７であるのに対し、Ｓ（３）をｚの関数とみたとき、その変化の割合は１です。

つまり、４をｚに代入したとき、Ｓ（３）を小さくすることができます。

そこで、４をｚに代入し、
Ｓ（３）＝２５ｘ＋７ｙ＋４
です。

そして、
Ｓ（４）＝２５ｘ＋７ｙ＋４ｚ
とします。

最後に、３を代入しますが、Ｓ（４）をｘ、ｙの関数とみたとき、それぞれの変化の割合は２５と７であるのに対し、Ｓ（４）をｚの関数とみたとき、その変化の割合は４です。

つまり、３をｚに代入したとき、Ｓ（４）を小さくすることができます。

そこで、３をｚに代入し、
Ｓ（４）＝２５ｘ＋７ｙ＋１２
です。

以上からｘ＋ｙ＋ｚが最小になるのは、ｘ、ｙ、ｚの３つの数が、２５、１２、７になるときで、その最小値Ｓ’は、
Ｓ’＝２５＋７＋１２
　　＝４４
です。


途中で「４つの数を大きい順（２５→７→４→３）に代入して」としましたが、これを例えば２５→４→３→７とすると、
Ｓ（２）＝２５ｘ＋４ｙ＋ｚ
Ｓ（３）＝２５ｘ＋４ｙ＋３ｚ
Ｓ（４）＝２５ｘ＋４ｙ＋２１ｚ
になり、ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５＋４＋２１＝５０と最小値になりません。（この辺のところはさらに工夫が必要です。今晩、ビールを飲みながら考えてみます）