ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（２１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

北寄りの風のせいか、昨日より随分涼しくなりました。相変わらず湿度は高いので少しムッとしますが、昨日に比べれば極楽です。昨日の夕方には雷が轟きました。梅雨明けも間もなくです。

さて、今回は２０１１年ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「三角形ＡＢＣの内心を　Ｉ、外心をＯとする。ＡＢ＝２、ＡＣ＝３、∠ＡＩＯ＝９０°が成立しているとき、三角形ＡＢＣの面積を求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

まず図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

この問題のポイントは、∠ＡＩＯ＝９０°という条件の使途です。

９０°で思い起こすのは、三平方の定理や半円に対する円周角などですが、ここでは図２のように、直線ＡＩを延長して二等辺三角形を作り、その頂点から底辺に下ろした垂線の足が底辺を２等分することに利用してみましょう。

▲図２．直線ＡＩを延長して二等辺三角形ＯＡＤを作りました

図２で、直線ＡＩと円Ｏの交点でＡでないほうをＤとすると、△ＯＡＤは二等辺三角形になる（ＯＡ＝ＯＤ）ので、Ｉ　は線分ＡＤの中点になります。

続いて図３のように、ＤとＢおよびＣを直線で結びます。

▲図３．ＤとＢおよびＣを直線で結びました

このとき、Ｉ　は△ＡＢＣの内心なので、∠ＢＡＩ＝∠ＣＡＩ、つまり、∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤです。

したがって、弧ＢＤ＝弧ＣＤ、つまり、ＢＤ＝ＣＤです。

さらに図４のように、Ｂと　Ｉ　を直線で結びます。

▲図４．ＢとＩを直線で結びました

ここで、△ＤＢＩが二等辺三角形であることを示せば、ＡＩ＝ＤＩ＝ＤＢ＝ＤＣになります。

そこで、∠ＤＢＩと∠ＤＩＢが等しいことを示しましょう。

まず、
∠ＤＢＩ＝∠ＤＢＣ＋∠ＣＢＩ
です。

∠ＤＢＣについては、弧ＣＤに対する円周角は等しいので、
∠ＤＢＣ＝∠ＤＡＣ＝１/２∠Ａ
です。

また、Ｉ　は△ＡＢＣの内心なので、
∠ＣＢＩ＝１/２∠Ｂ
です。

したがって、
∠ＤＢＩ＝１/２∠Ａ＋１/２∠Ｂ
です。

次に、∠ＤＩＢは、△ＡＢＩの一つの外角なので、
∠ＤＩＢ＝∠ＩＡＢ＋∠ＩＢＡ
　　　 ＝１/２∠Ａ＋１/２∠Ｂ
です。

以上から、∠ＤＢＩ＝∠ＤＩＢで、△ＤＢＩは二等辺三角形です。

したがって、ＡＩ＝ＤＩ＝ＤＢ＝ＤＣです。

ここまでで、円Ｏに内接する四角形ＡＢＤＣの辺と対角線の情報がたくさん判りました。それらをまとめると、
ＡＢ＝２
ＢＤ＝ａ
ＤＣ＝ａ
ＣＡ＝３
ＡＤ＝２ａ
ＢＣ＝？
です。（ＡＩ＝ＤＩ＝ＤＢ＝ＤＣ＝ａとしました）

そこで、トレミーの定理を利用しましょう。

円Ｏに内接する四角形ＡＢＤＣにトレミーの定理を適用すると、
ＡＢ・ＤＣ＋ＢＤ・ＣＡ＝ＡＤ・ＢＣ
で、これに上記の値を代入すると、
２ａ＋３ａ＝２ａ・ＢＤ
ＢＤ＝５/２
です。

これで△ＡＢＣの３辺の長さが判りました。

あとは面積を計算するだけです。

いろいろな方法がありますが、例えば図５のように、Ａから辺ＢＣに垂線を下ろし、その足をＨとして、直角三角形ＡＢＨとＡＣＨに三平方の定理を適用すれば、高さＡＨを計算することができます。

▲図５．Ａから辺ＢＣに垂線を下ろし、その足をＨとします

実際に計算してみましょう。

直角三角形ＡＢＨに三平方の定理を適用して、
ＡＢ^2＝ＡＨ^2＋ＢＨ^2
４＝ｈ^2＋ｘ^2　　　　　　　　　　　　　（１）
です。

直角三角形ＡＣＨに三平方の定理を適用して、
ＡＣ^2＝ＡＨ^2＋ＣＨ^2
９＝ｈ^2＋（５/２－ｘ）^2　　　　　　　 （２）
です。

（２）を展開、整理して、
９＝ｈ^2＋２５/４－５ｘ＋ｘ^2
５ｘ＝ｈ^2＋ｘ^2＋２５/４－９
とし、これに（１）を代入して、
５ｘ＝４＋２５/４－９
　　＝５/４
ｘ＝１/４
です。

これを（１）に代入して、
ｈ^2＝４－１/１６
　　＝６３/１６
で、ｈ＞０から
ｈ＝３√７/４
です。

したがって、△ＡＢＣの面積Ｓは、
Ｓ＝ＢＣ・ｈ・１/２
　＝５/２・３√７/４・１/２
　＝１５√７/１６
で、これが答えです。


他にもいろいろな解き方があると思うので、興味のある人は調べてみてください。