高校入試問題Ｈ３１（１）〔開成高〕

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３１年度開成高入試問題を取り上げます。

問題は、
「正二十面体のサイコロがあり、各面には１から２０までの数がいずれか一つずつ書かれていて、１の書かれた面、２の書かれた面、・・・、２０の書かれた面はすべて１面ずつあるとする。また、このサイコロを投げたとき、どの面が出ることも同様に確からしいものとする。

（１） このサイコロを２回投げて、出た面に書かれた数の和が６の倍数となる確率を求め、結果のみを答えよ。

（２） このサイコロを３回投げて、出た面に書かれた数を５で割った余りを順にａ、ｂ、ｃとする。ただし、５で割り切れるとき、余りは０とする。
　　（ⅰ） ３数の積ａｂｃが０となる確率を求めよ。
　　（ⅱ） ａｂｃ/６ が整数となる確率を求めよ。」
です。

１回目に投げたサイコロの目の数をｍ、２回目の目の数をｎとすると、
２≦ｍ＋ｎ≦４０
が成り立ち、これを満たすｍ＋ｎで６の倍数になるのは、
ｍ＋ｎ＝６，１２，１８，２４，３０，３６
の場合になります。

そこで、これらのそれぞれの場合について調べていきましょう。

● ｍ＋ｎ＝６ の場合
これを満たすｍ、ｎの組合せ（ｍ，ｎ）は、
（１，５）、（２，４）、（３，３）の並び替えで、５通りです。〔（３，３）の並び替えは（３，３）なので１通りになります〕

● ｍ＋ｎ＝１２ の場合
これを満たすｍ、ｎの組合せ（ｍ，ｎ）は、
（１，１１）、（２，１０）、・・・、（５，７）、（６，６）の並び替えで、１１通りです。

● ｍ＋ｎ＝１８ の場合
これを満たすｍ、ｎの組合せ（ｍ，ｎ）は、
（１，１７）、（２，１６）、・・・、（８，１０）、（９，９）の並び替えで、１７通りです。

● ｍ＋ｎ＝２４ の場合
これを満たすｍ、ｎの組合せ（ｍ，ｎ）は、
（４，２０）、（５，１９）、・・・、（１１，１３）、（１２，１２）の並び替えで、１７通りです。

● ｍ＋ｎ＝３０ の場合
これを満たすｍ、ｎの組合せ（ｍ，ｎ）は、
（１０，２０）、（１１，１９）、・・・、（１４，１６）、（１５，１５）の並び替えで、１１通りです。

● ｍ＋ｎ＝３６ の場合
これを満たすｍ、ｎの組合せ（ｍ，ｎ）は、
（１６，２０）、（１７，１９）、（１８，１８）の並び替えで、５通りです。

したがって、ｍ＋ｎが６の倍数になる場合の数は ５＋１１＋１７＋１７＋１１＋５＝６６（通り）で、すべての場合の数は２０×２０＝４００（通り）なので、その確率は ６６/４００＝ ３３/２００ で、これが（１）の答えです。

次に（２）です。

３数の積ａｂｃが０になる事象は、３数の積ａｂｃが０にならない事象の余事象なので、ここは３数の積が０にならない確率を計算して、それを１から減じることにしましょう。

まず、１、２、３回目に投げたサイコロの目をそれぞれＡ、Ｂ、Ｃとすると、ａｂｃ≠０となるのは、Ａ、Ｂ、Ｃのいずれも５の倍数（５、１０、１５、２０）にならない場合です。

ここで、ａｂｃ≠０になる場合の数は、（２０－４）×（２０－４）×（２０－４）＝１６×１６×１６（通り）で、すべての場合の数は２０×２０×２０（通り）なので、その確率は １６×１６×１６/２０×２０×２０＝４×４×４/５×５×５＝６４/１２５です。

したがって、ａｂｃ＝０になる確率は １－６４/１２５＝ ６１/１２５ で、これが（ⅰ）の答えです。

最後の（ⅱ）です。

０≦ａ，ｂ，ｃ≦４ から、０≦ａｂｃ≦６４ が成り立ち、この範囲で ａｂｃ/６ が整数になるのは、
ａｂｃ＝０，６，１２，１８，２４，３０，３６，４２，４８，５４，６０
の場合です。

ところが、０≦ａ，ｂ，ｃ≦４に対して、３０＝２×３×５、４２＝２×３×７、５４＝２×３×９、６０＝３×４×５ であることから、これらの数はａ、ｂ、ｃの積になりません。

したがって、ａｂｃ/６ が整数になるのは、
ａｂｃ＝０，６，１２，１８，２４，３６，４８
の場合になります。

そこで、これらのそれぞれの場合について調べていきましょう。

● ａｂｃ＝０ の場合
（ⅰ）の答えで、その確率は６１/１２５です。

● ａｂｃ＝６ の場合
これを満たすａ、ｂ、ｃの組合せ（ａ，ｂ，ｃ）は、
（１，２，３）の並べ替えで、このときａ＝１、ｂ＝２、ｃ＝３になるＡ、Ｂ、Ｃはいずれも４通りなので、この場合の数は ４×４×４×６＝６４×６（通り）です。

● ａｂｃ＝１２ の場合
これを満たすａ、ｂ、ｃの組合せ（ａ，ｂ，ｃ）は、
（１，３，４）と（２，２，３）の並べ替えで、このときａ＝１、ｂ＝３、ｃ＝４、または、ａ＝２、ｂ＝２、ｃ＝３になるＡ、Ｂ、Ｃはいずれも４通りなので、それぞれ場合の数は ４×４×４×６＝６４×６（通り）と４×４×４×３＝６４×３（通り）になり、これらを合わせた場合の数は ６４×９（通り）です。

● ａｂｃ＝１８ の場合
これを満たすａ、ｂ、ｃの組合せ（ａ，ｂ，ｃ）は、
（２，３，３）の並べ替えで、このときａ＝２、ｂ＝３、ｃ＝３になるＡ、Ｂ、Ｃはいずれも４通りなので、この場合の数は ４×４×４×３＝６４×３（通り）です。

● ａｂｃ＝２４ の場合
これを満たすａ、ｂ、ｃの組合せ（ａ，ｂ，ｃ）は、
（２，３，４）の並べ替えで、このときａ＝２、ｂ＝３、ｃ＝４になるＡ、Ｂ、Ｃはいずれも４通りなので、この場合の数は ４×４×４×６＝６４×６（通り）です。

● ａｂｃ＝３６ の場合
これを満たすａ、ｂ、ｃの組合せ（ａ，ｂ，ｃ）は、
（３，３，４）の並べ替えで、このときａ＝３、ｂ＝３、ｃ＝４になるＡ、Ｂ、Ｃはいずれも４通りなので、この場合の数は ４×４×４×３＝６４×３（通り）です。

● ａｂｃ＝４８ の場合
これを満たすａ、ｂ、ｃの組合せ（ａ，ｂ，ｃ）は、
（３，４，４）の並べ替えで、このときａ＝３、ｂ＝４、ｃ＝４になるＡ、Ｂ、Ｃはいずれも４通りなので、この場合の数は ４×４×４×３＝６４×３（通り）です。

これらをまとめると、ａｂｃ＝６、１２、１８、２４、３６、４８ になる場合の数の合計は ６４×（６＋９＋３＋６＋３＋３）＝６４×３０（通り）で、すべての場合の数は２０×２０×２０なので、その確率は ６４×３０/２０×２０×２０＝３０/１２５ です。

したがって、ａｂｃ/６ が整数になる確率は、（ａｂｃ＝０の確率）＋（ａｂｃ＝６，１２，・・・，４８の確率）＝６１/１２５＋３０/１２５＝ ９１/１２５ で、これが（ⅱ）の答えです。


簡単な問題です。