４次式の因数分解（３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

晴れ間が覗いたり曇ったりですが、天気は下り坂で明日は雨になるようです。しかし、直ぐに回復し、明後日からはしばらく晴れの日が続きます。

さて、今回も４次式の因数分解の問題を取り上げます。

問題は、
「次の式を因数分解せよ。
」
です。

与式はｘについては４次式ですが、ａについては２次式なので、定石通りに次数の低いａについて降べきの順に並べ替えましょう。

すると、

のように因数1－ｘ^2　が見つかり簡単に因数分解できます。

他の手としては次のようなものもあります。

与式を展開すると同じような項が並んでいて、それらをまとめてみると、

のように、因数１－ｘ^2　が現れ、これも簡単に因数分解できます。

もちろん因数定理を利用してもＯＫです。

与式をｆ（ｘ）とします。



ここで、ｆ（ｘ）の定数項に着目すると、その約数は、±１、±ａ、±ａ^2　で、これらをｆ（ｘ）に代入すると、

からｘ－１がｆ（ｘ）の因数であることが判ります。

さらに、



から、ｘ＋１、ｘ＋ａもｆ（ｘ）の因数で、結局、（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ＋ａ）がｆ（ｘ）の因数になります。

あとはｆ（ｘ）を（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ＋ａ）で割り算するなり、残りの因数をｐｘ＋ｑとして展開しその係数と比較すれば、残りの因数を見つけることができます。（２つの因数が見つかったところで、残りの２次式を因数分解するのが早いです）

また、与式をｇ（ａ）として因数定理を利用してもよいでしょう。


（この時点で、１－ｘ^2　が因数であることが判るので、わざわざ因数定理を使う必要もないのですが）

ｇ（ａ）の定数項に着目すると、その約数は、±１、±２、±ｘ、±２ｘ、・・・などいろいろありますが、ａ＝－ｘ、２ｘを計算してみると、


と、ａ＋ｘ、ａ－２ｘが因数であることが判り、残りの２次式を因数分解すればお仕舞いです。


２元４次式で何通りかの方法を紹介しましたが、次数の低い文字について降べきの順に整理するのが基本です。基本を踏まえていろいろな方法を試してみて下さい。