中学入試問題Ｒ２（２２）[筑波大附属駒場中]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度筑波大附属駒場中の問題です。

問題は、
「図１のように、長方形ＡＢＣＤにおいて、辺ＡＢの長さが２ｍ、辺ＡＤの長さが１ｍです。この長方形の内部に点Ｐを、４つの三角形ＰＡＢ、ＰＢＣ、ＰＣＤ、ＰＤＡの面積がすべて異なるようにとります。４つの三角形を、面積の小さい順に㋐、㋑、㋒、㋓としたところ、三角形ＰＡＢが㋐となり、㋐と㋑、㋑と㋒、㋒と㋓の面積の差がすべて等しくなりました。次の問いに答えなさい。

▲図１

（１） ㋐の面積が

のとき、㋓の面積を求めなさい。

（２） 点Ｐが図２の位置にあるとき、三角形ＰＤＡが㋑です。また図２で、点Ｑは辺ＡＤ上、点Ｒは直線ＰＱ上にあり、ＰＱとＡＤは垂直です。さらに、斜線で示した図形ＤＲＡＰの面積は、㋐と㋑の面積の差に等しく、

です。このとき、ＱＲの長さを求めなさい。

▲図２

（３） 点Ｐとして考えられるすべての位置を解答欄の長方形ＡＢＣＤの内部にかきなさい。ただし、㋐、㋑、㋒、㋓の面積はすべて異なるので、図３の点線部分は答えに含まれません。」

▲図３

　　
です。

㋐と㋑、㋑と㋒、㋒と㋓の面積差をＤとすると、
㋑＝㋐＋Ｄ
㋒＝㋑＋Ｄ＝㋐＋Ｄ×２
㋓＝㋒＋Ｄ＝㋑＋Ｄ×２＝㋐＋Ｄ×３
です。（㋐、㋑、㋒、㋓でそれぞれの面積を表します）

一方、
㋐＋㋑＋㋒＋㋓＝（長方形ＡＢＣＤの面積）＝２（ｍ2）
が成り立ち、これに㋑、㋒、㋓を代入すると、
㋐＋㋐＋Ｄ＋㋐＋Ｄ×２＋㋐＋Ｄ×３＝㋐×４＋Ｄ×６＝２（ｍ2）
です。

このとき、

なので、

から

になり、したがって、

で、これが（１）の答えです。

次に（２）です。

㋐と㋑の面積差が

なので、

です

すると、
㋐＋㋑＋㋒＋㋓＝㋐×４＋１＝２（ｍ2）
で、これから

です。

このとき、三角形ＲＤＡの面積と㋐は等しいので、

で、これから、

で、これが答えです。

最後の（３）です。

図４のように、長方形ＡＢＣＤの対角線の交点をＯとして長方形ＯＸＰＹをつくり、辺ＯＸ、ＯＹの長さをそれぞれｈとｄとします。

▲図４．長方形ＯＸＰＹをつくりＯＸ＝ｈ、ＯＹ＝ｄとしました

初めに、三角形ＰＤＡが㋑になる場合（ｄ＞０）を調べます。

三角形ＰＡＢの高さは、

で、この面積は三角形ＲＤＡ、三角形ＰＢＣ、三角形ＰＣＤの面積に等しいので、

になります。（掛け算の記号×を省略しました。例えば、２ｈは２×ｈを表します）

また、
ＰＲ＝ＱＸ－ＱＲ－ＰＸ
で、ＱＸ＝１、ＱＲ＝１－２ｈ、ＰＸ＝ｄから
ＰＲ＝１－（１－２ｈ）－ｄ＝２ｈ－ｄ（ｍ）
です。

このとき、図形ＰＢＴＣと図形ＰＣＶＤの面積は、それぞれ図形ＰＤＲＡの面積の２倍と３倍なので、

になります。

すると、
ＱＳ＝ＱＲ＋ＰＲ＋ＰＴ＋ＳＴ
　　＝（１－２ｈ）＋（２ｈ－ｄ）＋２（２ｈ－ｄ）＋（１－２ｈ）
　　＝２ｈ－３ｄ＋２
　　＝２
になり、これから

が成り立ちます。（線分ＨＵについても（★）が導かれます）

つまり、点Ｐは ＯＸ：ＸＰ＝３：２ になる三角形ＯＸＰの頂点になり、このとき、

なので、

になることから、点Ｐとして考えられる位置は、点Ｏと、辺ＡＢ上で点Ａから

の点を結んだ線分（両端を除く）になります。

一方、三角形ＰＢＣが㋑になる場合も同様に、点Ｐとして考えられる位置は、点Ｏと、辺ＡＢ上で点Ｂから

の点を結んだ線分（両端を除く）になります。

以上から、点Ｐとして考えられるすべての位置は、

の赤色でマークした線分（両端を除く）で、これが答えです。


簡単な問題です。