こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、2011年開成高入試に出題された図形問題を取り上げます。
問題は、
「下の図形は、1辺の長さが1cmの正方形と、1辺の長さが1cmの正六角形4個からなる図形である。
▲問題図
この図形を展開図とし、辺AEと辺AL、辺BFと辺BG、辺CHと辺CI、辺DJと辺DKをはり合わせた容器を作る。
次の問いに答えよ。ただし、分母に根号がある形で答えてもよい。
(1) 正方形ABCDを底面としてこの容器に水を入れるとき、最大限入れることのできる水の体積を求めよ。
(2) この容器の5つの面すべてに接する球の半径を求めよ。」
です。
図1は、正方形ABCDを底面としたときの容器の平面図です。
▲図1.正方形ABCDを底面としたときの容器の平面図です
ここで四角形EFHJは、問題図の正六角形の最も長い対角線を辺とする正方形で、その辺の長さは正六角形の辺の長さの2倍、つまり、2cmになります。
次に、容器の平面PQRSでの断面図を図2に示します。
▲図2.容器の平面PQRSでの断面図です
まず、PQの長さを求めましょう。
PQの長さは図3のBTの長さと等しく、△BFTは斜辺の長さが1cmで内角が90°、60°、30°の直角三角形なので、
です。
したがって、
になります。
▲図3.PQの長さを求めます
そこで図2の直角三角形PQUに三平方の定理を適用すると、
が成り立ち、これに
を代入すると、
になります。
したがって、
です。
一方、直線PQと直線SRの交点をVとすると、△PQU∽△PVWで、その相似比は1:2になります。
したがって、
です。
この容器に入れることができる水の体積の最大値は、正四角錐V-EFHJの体積と正四角錐V-ABCDの体積の差なので、
で、これが(1)の答えです。
続いて(2)です。
容器の5つの面の接する球をおいたときの平面PQRSでの断面は、図4のようになります。
▲図4.容器の5つの面の接する球をおいたときの平面PQRSでの断面です
このとき、
です。
球の半径をrとして、直角三角形XVOに三平方の定理を適用すると、
から
が成り立ちます。
これを整理すると
になります。
したがって、求める球の半径は、
で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、2011年開成高入試に出題された図形問題を取り上げます。
問題は、
「下の図形は、1辺の長さが1cmの正方形と、1辺の長さが1cmの正六角形4個からなる図形である。
▲問題図
この図形を展開図とし、辺AEと辺AL、辺BFと辺BG、辺CHと辺CI、辺DJと辺DKをはり合わせた容器を作る。
次の問いに答えよ。ただし、分母に根号がある形で答えてもよい。
(1) 正方形ABCDを底面としてこの容器に水を入れるとき、最大限入れることのできる水の体積を求めよ。
(2) この容器の5つの面すべてに接する球の半径を求めよ。」
です。
図1は、正方形ABCDを底面としたときの容器の平面図です。
▲図1.正方形ABCDを底面としたときの容器の平面図です
ここで四角形EFHJは、問題図の正六角形の最も長い対角線を辺とする正方形で、その辺の長さは正六角形の辺の長さの2倍、つまり、2cmになります。
次に、容器の平面PQRSでの断面図を図2に示します。
▲図2.容器の平面PQRSでの断面図です
まず、PQの長さを求めましょう。
PQの長さは図3のBTの長さと等しく、△BFTは斜辺の長さが1cmで内角が90°、60°、30°の直角三角形なので、
です。
したがって、
になります。
▲図3.PQの長さを求めます
そこで図2の直角三角形PQUに三平方の定理を適用すると、
が成り立ち、これに
を代入すると、
になります。
したがって、
です。
一方、直線PQと直線SRの交点をVとすると、△PQU∽△PVWで、その相似比は1:2になります。
したがって、
です。
この容器に入れることができる水の体積の最大値は、正四角錐V-EFHJの体積と正四角錐V-ABCDの体積の差なので、
で、これが(1)の答えです。
続いて(2)です。
容器の5つの面の接する球をおいたときの平面PQRSでの断面は、図4のようになります。
▲図4.容器の5つの面の接する球をおいたときの平面PQRSでの断面です
このとき、
です。
球の半径をrとして、直角三角形XVOに三平方の定理を適用すると、
から
が成り立ちます。
これを整理すると
になります。
したがって、求める球の半径は、
で、これが答えです。
簡単な問題です。
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