高校入試で出題される難しい因数分解

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予報では、曇りのち、雨となっていましたが、今は晴れています。風が強いのでこれから曇って雨が降るのかもしれません。

中３の数学では、因数分解を勉強している頃ですが、塾生が因数分解の計算スピードを速くしたいとの希望がありました。

計算スピードを上げる効果的な方法は、ちょっとしたテクニックとたくさんの演習なので、早速、学研のシステムから演習問題をＤＬしました。この学研システムは演習問題が４段階の難易度に区別してあって、それらをすべてプリントしたのですが、最難度のものは、塾生のリクエストに合わないので使わずに置いておき、パズル好きの私には面白そうだったので、自宅で解いてみました。

出題の出展は、ラ・サール、慶応志木、早稲田実業など難関私立高校で、学校のワークなどにある問題とはレベルが違うのですが、とは言っても、それほど難しくするわけにはいかないようで、図１に示す基本的な因数分解を組み合わせたものがほとんどでした。

▲図１．因数分解の基本

そこで、図２に示した慶応志木（ｉ）と東大寺学園（ｉｉ）で出題された問題を調べてみましょう。

▲図２．難しい因数分解の出題例

（ｉ）の問題は、ａの４乗、２乗、ｂの２乗、ａｂの項などから、ａの２乗を最高次にもつ多項式の２乗と、ｂを最高次にもつ多項式の２乗の差、つまり、それらの和と差の積（図１の（２）の形）となる雰囲気を感じるわけです。

そこで、
与式＝ａ^4＋４ａ^2＋４－（ａ^2＋２ａｂ＋ｂ^2）
　　＝（ａ^2＋２）^2－（ａ＋ｂ）^2
　　＝（ａ^2＋ａ＋ｂ＋２）（ａ^2－ａ－ｂ＋２）
と、図１の（１）を使ってから（２）を適応して一件落着です。

次に、（ｉｉ）ですが、既に和と差の積の形になっているので、
与式＝（ａ^2－ｂ^2－ｃ^2＋２ｂｃ）（ａ^2－ｂ^2－ｃ^2－２ｂｃ）
までは簡単です。

さらに、
ａ^2－ｂ^2－ｃ^2＋２ｂｃ＝ａ^2－（ｂ^2－２ｂｃ＋ｃ^2）
　　　　　　　　　　　　＝ａ^2－（ｂ－ｃ）^2
　　　　　　　　　　　　＝（ａ＋ｂ－ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）
ａ^2－ｂ^2－ｃ^2－２ｂｃ＝ａ^2－（ｂ^2＋２ｂｃ＋ｃ^2）
　　　　　　　　　　　　＝ａ^2－（ｂ＋ｃ）^2
　　　　　　　　　　　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ－ｂ－ｃ）
から、答えは、
（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）（ａ－ｂ－ｃ）
となり、これは、図１の（２）を使って、次に（１）を使い、さらに（２）を適用してお仕舞いです。

これらの例題から判るように、難関高校入試で出題される因数分解は、因数分解の基本形を組み合わせたものになっているので、基本形の因数分解が素早くできるように演習した後に取り組めば、容易に対応できるようになるでしょう。