図形問題（５１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１６年ＡＩＭＥの図形問題です。

問題は、
「△ＡＢＣの内心をＩ、∠ＡＣＢの二等分線と辺ＡＢとの交点をＬとし、直線ＣＬと△ＡＢＣの外接円の交点でＣでないほうをＤとする。
ここで、ｍとｎを互いに素な整数として、

になるとき、ｍ＋ｎの値を求めよ。」
です。

図１に問題の図を描きました。

▲図１．問題の図を描きました

まず図２のように、ＢとＤを直線で結びます。

▲図２．ＤＢ＝５です

ここで△ＤＢＩに注目すると、円周角の定理と三角形の２つの内角と外角の関係を利用して、
∠ＤＢＩ＝∠ＤＢＡ＋∠ＡＢＩ＝∠ＤＣＡ＋∠ＡＢＩ＝■＋▲
∠ＤＩＢ＝∠ＩＢＣ＋∠ＩＣＢ＝■＋▲
になることから、∠ＤＢＩ＝∠ＤＩＢ、つまり、△ＤＢＩは二等辺三角形で、したがって、
ＤＢ＝ＤＩ＝ＤＡ＋ＬＩ＝３＋２＝５
です。

一方、図３のように、△ＡＣＬ∽△ＤＢＬ（円周角の定理から∠ＣＡＬ＝∠ＢＤＬ、∠ＡＣＬ＝∠ＢＤＬ）で、このとき、ＤＢ：ＤＬ＝５：３からＡＣ：ＡＬ＝５：３です。

▲図３．△ＡＣＬ∽△ＤＢＬ、ＡＣ：ＡＬ＝５：３です

あとは、角の二等分線定理を利用して、

になり、したがって、ｍ＝１０、ｎ＝３から、ｍ＋ｎ＝ １３ で、これが答えです。


簡単な問題です。