整数問題（２）［開成中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００９年開成中入試問題で出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１０００ である３つの整数Ａ、Ｂ、Ｃがあります。Ｂ÷Ａを小数第一位まで計算して、その結果の小数第一位を四捨五入したら７になりました。また、ＣをＢで割ったら、商は２で余りは１６になりました。
　このとき、次の問いに答えなさい。

（１）　Ｂ÷Ａを計算したとき、ちょうど小数第一位で割り切れ、その結果が６．５ になる場合は、Ａ、Ｂ、Ｃの値はそれぞれいくつになりますか。

（２）　（１）以外の場合、Ａ、Ｂ、Ｃの値の組み合せとして考えられるものをすべて求めなさい。ただし、解答らんはすべて使うとは限りません。」
です。

与えられた条件を立式すると、
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１０００　　　　　［１］
６．５≦Ｂ/Ａ＜７．５　　　　 ［２］
Ｃ＝２Ｂ＋１６　　　　　　　　［３］
になり、これらからＡ、Ｂ、Ｃを求めることができます。（Ａ、Ｂ、Ｃは正の整数とします）

まず、（１）です。

Ｂ/Ａ＝６．５
なので、
Ｂ＝６．５Ａ　　　　　　　　　［４］
で、これを ［３］ に代入して、
Ｃ＝１３Ａ＋１６　　　　　　　［５］
です。

ここで、 ［４］ と ［５］ を ［１］ に代入して、
Ａ＋６．５Ａ＋１３Ａ＋１６＝１０００
２０．５Ａ＝９８４
Ａ＝４８
です。

最後に、Ａ＝４８ と ［４］、［１］ から、
Ｂ＝６．５×４８＝３１２
Ｃ＝１０００－４８－３１２＝６４０
で、Ａ＝４８、Ｂ＝３１２、Ｃ＝６４０ が答えです。

続いて（２）です。

［３］ を ［１］ に代入して、
Ａ＋Ｂ＋２Ｂ＋１６＝１０００
３Ｂ＝９８４－Ａ
Ｂ＝３２８－Ａ/３
です。

このとき、Ｂは整数なので、Ａは３ の倍数になり、Ａが３ 大きくなると、Ｂは１ 小さくなります。

一方、（１）から、Ａ＝４８ のとき、Ｂ＝３１２、Ｂ/Ａ＝６．５ なので、［２］ の左辺を満たすＡ、Ｂの組合せ（Ａ，Ｂ）は、
（４５，３１３）、（４２，３１４）、（３９，３１５）、・・・
です。

ここで、
３１５/３９＝８．０・・・
３１４/４２＝７．４・・・
から、［２］ を満たすＡ、Ｂの組合せは、
（４５，３１３）と（４２，３１４）
です。

これらと ［１］ から、条件を満たすＡ、Ｂ、Ｃの組合せは、
Ａ＝４５、Ｂ＝３１３、Ｃ＝６４２
Ａ＝４２、Ｂ＝３１４、Ｃ＝６４４
で、これが答えです。


［２］ とＢ＝３２８－Ａ/３ からＡの不等式を作って、Ａの変域を求めてもＯＫです。