こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
前回は小町算を取り上げましたが、今回は２０１１年麻布中学入試問題の覆面算を取り上げます。
問題は、
「計算式 □□÷□＋□÷□□ の６ヶ所の空欄に、１、２、３、４、５、６、７、８、９の９個の数字から６個を入れて、計算します。ただし、同じ数字を２ヶ所以上で用いてはいけません。
例 ［５］［６］÷［４］＋［３］÷［１］［２］＝１４と１/４
［５］［２］÷［７］＋［８］÷［１］［４］＝８
（［ ］は□を表します）
（１） 計算結果が最も大きい整数となるような数字の入れ方を答の欄に書きなさい。
答 □□÷□＋□÷□□
（２） 計算結果が２５となるような数字の入れ方をすべて答の欄に書きなさい。ただし、答の欄はすべて使うとは限りません。 」
です。
早速、取り掛かりましょう。
与えられた式の左側の割り算（以下Ａ）を１から９までの９個の数字から３個を使って計算すると、その値は、
［９］［８］÷［１］＝９８
［１］［２］÷［９］＝１と３/９
から、
１と３/９≦Ａ≦９８
で、右側の割り算（以下Ｂ）は、１桁の数を２桁の数で割るので、
０＜Ｂ＜１
になります。
このとき、Ａ＋Ｂを最大にするためには、Ａをより大きい値にすればＯＫです。
一方、Ａ＋Ｂは整数で、Ｂが整数でないことから、Ａは整数ではありません。
そこで、Ａが非整数で最大になるものを調べると、
［９］［７］÷［２］＝４８と１/２
です。
したがって、残った１、３、４、５、６、８の６個の数字から
Ｂ＝１/２
になる３個の数字の組合せを作ることができれば、Ａ＋Ｂの最も大きい整数値は４９になります。
ここで、分子と分母がそれぞれ１桁と２桁の整数で値が１/２になる分数を作ると、
１/２＝６/１２＝７/１４＝８/１６＝９/１８
になり、このなかで、残った６個の数字から成るものは、
［８］÷［１］［６］＝１/２
だけです。
以上から、計算結果が最も大きな整数になる数字の入れ方は、
［９］［７］÷［２］＋［８］÷［１］［６］
で、これが答えです。
続いて（２）です。
Ａ＋Ｂ＝２５で、Ｂは１より小さい値であることから、
２４＜Ａ＜２５
になります。
つまり、Ａは、
（１） ［４］［９］÷［２］＝２４と１/２
（２） ［７］［４］÷［３］＝２４と２/３
（３） ［９］［７］÷［４］＝２４と１/４
（４） ［９］［８］÷［４］＝２４と１/２
（［７］［３］÷［３］＝２４と１/３、［９］［９］÷［４］は同じ数字を２回使うのでＮＧです）
の４通りになります。
あとは残った６個の数字で、Ａ＋Ｂ＝２５ になるＢを作ることができるかを調べればお仕舞いです。
（１）残った数字： １、３、５、６、７、８
１/２＝６/１２＝７/１４＝８/１６
から、条件を満たすのは、
［８］÷［１］［６］＝１/２
だけです。
（２）残った数字： １、２、５、６、８、９
１/３＝４/１２＝５/１５＝６/１８
から、条件を満たすのは、
［６］÷［１］［８］＝１/３
だけです。
（３）残った数字： １、２、３、５、６、８
３/４＝９/１２
から、条件を満たすものはありません。
（４）残った数字： １、２、３、５、６、７
１/２＝６/１２＝７/１４＝８/１６＝９/１８
から、条件を満たすのは、
［６］÷［１］［２］＝１/２
だけです。
以上をまとめると、
［４］［９］÷［２］＋［８］÷［１］［６］
［７］［４］÷［３］＋［６］÷［１］［８］
［９］［８］÷［４］＋［６］÷［１］［２］
になり、これが答えです。
（２）は、２４＜Ａ＜２５に気が付けば簡単です。
前回は小町算を取り上げましたが、今回は２０１１年麻布中学入試問題の覆面算を取り上げます。
問題は、
「計算式 □□÷□＋□÷□□ の６ヶ所の空欄に、１、２、３、４、５、６、７、８、９の９個の数字から６個を入れて、計算します。ただし、同じ数字を２ヶ所以上で用いてはいけません。
例 ［５］［６］÷［４］＋［３］÷［１］［２］＝１４と１/４
［５］［２］÷［７］＋［８］÷［１］［４］＝８
（［ ］は□を表します）
（１） 計算結果が最も大きい整数となるような数字の入れ方を答の欄に書きなさい。
答 □□÷□＋□÷□□
（２） 計算結果が２５となるような数字の入れ方をすべて答の欄に書きなさい。ただし、答の欄はすべて使うとは限りません。 」
です。
早速、取り掛かりましょう。
与えられた式の左側の割り算（以下Ａ）を１から９までの９個の数字から３個を使って計算すると、その値は、
［９］［８］÷［１］＝９８
［１］［２］÷［９］＝１と３/９
から、
１と３/９≦Ａ≦９８
で、右側の割り算（以下Ｂ）は、１桁の数を２桁の数で割るので、
０＜Ｂ＜１
になります。
このとき、Ａ＋Ｂを最大にするためには、Ａをより大きい値にすればＯＫです。
一方、Ａ＋Ｂは整数で、Ｂが整数でないことから、Ａは整数ではありません。
そこで、Ａが非整数で最大になるものを調べると、
［９］［７］÷［２］＝４８と１/２
です。
したがって、残った１、３、４、５、６、８の６個の数字から
Ｂ＝１/２
になる３個の数字の組合せを作ることができれば、Ａ＋Ｂの最も大きい整数値は４９になります。
ここで、分子と分母がそれぞれ１桁と２桁の整数で値が１/２になる分数を作ると、
１/２＝６/１２＝７/１４＝８/１６＝９/１８
になり、このなかで、残った６個の数字から成るものは、
［８］÷［１］［６］＝１/２
だけです。
以上から、計算結果が最も大きな整数になる数字の入れ方は、
［９］［７］÷［２］＋［８］÷［１］［６］
で、これが答えです。
続いて（２）です。
Ａ＋Ｂ＝２５で、Ｂは１より小さい値であることから、
２４＜Ａ＜２５
になります。
つまり、Ａは、
（１） ［４］［９］÷［２］＝２４と１/２
（２） ［７］［４］÷［３］＝２４と２/３
（３） ［９］［７］÷［４］＝２４と１/４
（４） ［９］［８］÷［４］＝２４と１/２
（［７］［３］÷［３］＝２４と１/３、［９］［９］÷［４］は同じ数字を２回使うのでＮＧです）
の４通りになります。
あとは残った６個の数字で、Ａ＋Ｂ＝２５ になるＢを作ることができるかを調べればお仕舞いです。
（１）残った数字： １、３、５、６、７、８
１/２＝６/１２＝７/１４＝８/１６
から、条件を満たすのは、
［８］÷［１］［６］＝１/２
だけです。
（２）残った数字： １、２、５、６、８、９
１/３＝４/１２＝５/１５＝６/１８
から、条件を満たすのは、
［６］÷［１］［８］＝１/３
だけです。
（３）残った数字： １、２、３、５、６、８
３/４＝９/１２
から、条件を満たすものはありません。
（４）残った数字： １、２、３、５、６、７
１/２＝６/１２＝７/１４＝８/１６＝９/１８
から、条件を満たすのは、
［６］÷［１］［２］＝１/２
だけです。
以上をまとめると、
［４］［９］÷［２］＋［８］÷［１］［６］
［７］［４］÷［３］＋［６］÷［１］［８］
［９］［８］÷［４］＋［６］÷［１］［２］
になり、これが答えです。
（２）は、２４＜Ａ＜２５に気が付けば簡単です。