(01)
孔子曰天無二日、民無二王。
孔子曰く、天に二つの太陽は無く、民に二人の王は無い(孟子、萬章章句上)。
(02)
「≠」を「<>」と書くこととし、それ故、「<>ではない」が「=」であって、「=ではない」が「<>」です。
(03)
(ⅰ)
1 (1) ∃x{王x&∀y(王y→x=y)} A
2 (2) 王a&∀y(王y→a=y) A
2 (3) 王a 2&E
2 (4) ∀y(王y→a=y) 2&E
2 (5) 王b→a=b 4UE
2 (6) ~王b∨a=b 5含意の定義
2 (7) ~~(~王b∨a=b) 6DN
2 (8) ~(~~王b&a<>b) 7ド・モルガンの法則
2 (9) ~(王b&a<>b) 8DN
ア (ア) ∃y(王y&a<>y) A
イ(イ) (王b&a<>b) A
2 イ(ウ)~(王b&a<>b)&(王b&a<>b) 9イ&I
2ア (エ)~(王b&a<>b)&(王b&a<>b) アイウEE
2 (オ) ~∃y(王y&a<>y) アエRAA
2 (カ) 王a&~∃y(王y&a<>y) 3オ&I
2 (キ) ∃x{王x&~∃y(王y&x<>y)} カEI
1 (ク) ∃x{王x&~∃y(王y&x<>y)} 12キEE
(ⅱ)
1 (1) ∃x{王x&~∃y(王y&x<>y)} A
2 (2) 王a&~∃y(王y&a<>y) A
2 (3) 王a 2&E
2 (4) ~∃y(王y&a<>y) 2&E
5 (5) 王b&a<>b A
5 (6) ∃y(王b&a<>y) 5EI
25 (7) ~∃y(王y&a<>y)&
∃y(王b&a<>y) 46&I
2 (8) ~(王b&a<>b) 57RAA
2 (9) ~王b&∨a=b 8ド・モルガンの法則
2 (ア) 王b→a=b 9含意の定義
2 (イ) ∀y(王y→a=y) アUI
2 (ウ) 王a&∀y(王y→a=y) 3イ&I
2 (エ) ∃x{王x&∀y(王y→a=y)} 2EI
1 (オ) ∃x{王x&∀y(王y→a=y)} 12エEE
従って、
(03)により、
(04)
(ⅰ)∃x{王x& ∀y(王y→x=y)}
(ⅱ)∃x{王x&~∃y(王y&x<>y)}
に於いて、
(ⅰ)ならば(ⅱ)であり、
(ⅱ)ならば(ⅰ)である。
従って、
(04)により、
(05)
(ⅰ)∃x{王x& ∀y(王y→x=y)}
(ⅱ)∃x{王x&~∃y(王y&x<>y)}
に於いて、
(ⅰ)=(ⅱ) である。
従って、
(05)により、
(06)
(ⅰ)あるxは王であり、すべてyについて、yが王であるならば、xはyと同じ人物である。
(ⅱ)あるxは王であり、xではない、あるyが、王である。といふことはない。
(ⅰ)=(ⅱ) である。
従って、
(05)(06)により、
(07)
(ⅰ)∃x{舜x&王x& ∀y(王y→x=y)}
(ⅱ)∃x{舜x&王x&~∃y(王y&x<>y)}
に於いて、すなはち、
(ⅰ)あるxは舜であって、王であり、すべてyについて、yが王であるならば、xはyと同じ人物である。
(ⅱ)あるxは舜であって、王であり、xではない、あるyが、王である。といふことはない。
(ⅰ)=(ⅱ) である。
従って、
(08)
獨舜爲王矣。
獨り舜のみ王たり。
といふ「漢文」は、
(ⅰ)∃x{舜x&王x& ∀y(王y→x=y)}
(ⅱ)∃x{舜x&王x&~∃y(王y&x<>y)}
といふ「述語論理」に、相当する。
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