(01)
{a、b、c}は、「個体(individuals)」であるとして、
a≠b
a≠c
b≠c
であるならば、
{a、b、c}は、「3個の個体からなる、集合」である。
然るに、
(02)
{a、b、c}は、「個体(individuals)」であるとして、
a=a
b=a
c=a
であるならば、
{a、b、c}は、
{a、a、a}に、「等しい」。
然るに、
(03)
「冪等律(Idempotent)」により、
{a、a、a}は、
{a} に、「等しい」。
従って、
(02)(03)により、
(04)
{a、b、c}は、「個体(individuals)」であるとして、
a=a
b=a
c=a
であるならば、
{a、b、c}は、すなはち、
{a} といふ「1個の個体からなる、集合」である。
従って、
(04)により、
(05)
① ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)}⇔
① あるxについて{xはFであり、すべてのyについて(yがFであるならば、x=yである)}。
といふのであれば、この場合は、
①「1個の個体だけが、性質Fを持ってゐる。」
然るに、
(06)
(ⅰ)
1 (1) ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)} A
2(2) Fa&∀y(Fy→a=y) A
2(3) Fa 2&E
2(4) ∀y(Fy→a=y) 2&E
2(5) Fb→a=b 4UE
2(6) ~Fb∨a=b 5含意の定義
2(7) a=b&~Fb 6交換法則
2(8) ~(a≠b&Fb) 7ド・モルガンの法則
2(9) ∀y~(a≠y&Fy) 8UI
2(ア) ~∃y(a≠y&Fy) 9量化子の関係
2(イ) Fa&~∃y(a≠y&Fy) 3ア&I
2(ウ)∃x{Fx&~∃y(x≠y&Fy)} イEI
1 (エ)∃x{Fx&~∃y(x≠y&Fy)} 12ウEE
(ⅱ)
1 (1)∃x{Fx&~∃y(x≠y&Fy)} A
2(2) Fa&~∃y(a≠y&Fy) A
2(3) Fa 2&E
2(4) ~∃y(a≠y&Fy) 2&E
2(5) ∀y~(a≠y&Fy) 4量化子の関係
2(6) ~(a≠b&Fb) 5UE
2(7) a=b∨~Fb 6ド・モルガンの法則
2(8) ~Fb∨a=b 7交換法則
2(9) Fb→a=b 8含意の定義
2(ア) ∀y(Fy→a=y) 9UI
2(イ) Fa&∀y(Fy→a=y) 3ア&I
2(ウ) ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)} イEI
1 (エ) ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)} 12ウEE
従って、
(06)により、
(07)
① ∃x{Fx& ∀y(Fy→x=y)}
② ∃x{Fx&~∃y(x≠y&Fy)}
に於いて、
①=② である。
従って、
(05)(06)(07)により、
(08)
② ∃x{Fx&~∃y(x≠y&Fy)}⇔
② あるxは{Fであり、(x以外に、Fであるy)は存在しない}。
といふのであれば、この場合も、
②「1個の個体だけが、性質Fを持ってゐる。」
従って、
(05)(08)により、
(09)
① ∃x{Fx& ∀y(Fy→x=y)}
② ∃x{Fx&~∃y(x≠y&Fy)}
といふ「述語論理式」は、
①「1個の個体だけが、性質Fを持ってゐる。」
②「1個の個体だけが、性質Fを持ってゐる。」
といふ「意味」である。
従って、
(10)
① ∃x{ヒトラーx&我が闘争x& ∀y(我が闘争y→x=y)}
② ∃x{ヒトラーx&我が闘争x&~∃y(x≠y&我が闘争y)}
といふ「述語論理式」は、
①「性質(ヒトラーといふ名である)を持ってゐる1個の個体だけが、性質(我が闘争の著者である)を持ってゐる。」
①「性質(ヒトラーといふ名である)を持ってゐる1個の個体だけが、性質(我が闘争の著者である)を持ってゐる。」
といふ「意味」である。
然るに、
(11)
問題5.
「ラッセルの確定記述の理論」を用いて、つぎの論証の健全性を確立せよ。
(a)マイン・カンプの著者は1945年に死んだ。ヒトラーはマイン・カンプを書いた。故にヒトラーは1945年に死んだ。
(a)The author of Mine Kamp died in 1945. Hitler wrote Mine Kamp. Hitler therefore died in 1945.
(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、215頁改)
〔私による解答〕
1 (1)∃x(我が闘争x&45年死x) A
2 (2) 我が闘争a&45年死a A
3 (3)∃y{ヒトラーy&我が闘争y&∀x(我が闘争x→x=y)} A
4(4) ヒトラーb&我が闘争b&∀x(我が闘争x→x=b) A
4(5) ∀x(我が闘争x→x=b) 4&E
4(6) 我が闘争a→a=b 5UE
2 (7) 我が闘争a 2&E
2 4(8) a=b 67MPP
4(9) ヒトラーb 4&E
2 4(ア) ヒトラーa 89=E
2 (イ) 45年死a 2&E
2 4(ウ) ヒトラーa&45年死a アイ&I
2 4(エ)∃x(ヒトラーx&45年死x) ウEI
23 (オ)∃x(ヒトラーx&45年死x) 34エEE
1 3 (カ)∃x(ヒトラーx&45年死x) 12オEE
1 3 (〃)あるxはヒトラーであって1945年に死んだ。 12オEE
従って、
(09)(10)(11)により、
(12)
①「性質(ヒトラーといふ名である)を持ってゐる1個の個体だけが、性質(我が闘争の著者である)を持ってゐる。」
①「性質(ヒトラーといふ名である)を持ってゐる1個の個体だけが、性質(我が闘争の著者である)を持ってゐる。」
といふ「意味」であるところ、
① ∃x{ヒトラーx&我が闘争x& ∀y(我が闘争y→x=y)}
② ∃x{ヒトラーx&我が闘争x&~∃y(x≠y&我が闘争y)}
といふ「論理式」は、「ラッセルの確定記述の理論」に基づくところの、「論理式」である。
然るに、
(13)
仮に、「我が闘争(Mine Kamp)」が、「ヒトラーと、他の誰かによる、共著」であったとしたら、
(a)The author of Mine Kamp ではなく、
(a)The authors of Mine Kamp となると「同時」に、
① ∃x{ヒトラーx&我が闘争x& ∀y(我が闘争y→x=y)}
② ∃x{ヒトラーx&我が闘争x&~∃y(x≠y&我が闘争y)}
でなければ、ならない。
然るに、
(14)
定冠詞(the)は、それが厳密に用いられるときには、一意性を内含している。確かに、しかじかのひと(So-and-so)がいく人かの息子をもっている場合でさえ、the son of So-and-so という表現を使用するが、本当はその場合には、a son of So-and-so という方がより正しいといえよう。それゆえわれわれの目的のためには、the は一意性を内含しているものと考えていく(頸草書房、現代哲学基本論文集Ⅰ、バートランド・ラッセル、指示について、1986年、53頁)。
従って、
(12)(13)(14)により、
(15)
(a)The author of Mine Kamp
がそうであるやうに、
(a)The(定冠詞)+名詞(単数)
でなければ、
① ∃x{ヒトラーx&我が闘争x& ∀y(我が闘争y→x=y)}
② ∃x{ヒトラーx&我が闘争x&~∃y(x≠y&我が闘争y)}
といふ「論理式」、すなはち、「ラッセルの確定記述の理論」に基づくところの、「論理式」は、成立しない。
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