（01）
「組合せ」は「樹形図」では書けないのですか？
といふ風に、
といふ画像の彼が質問したところ、
ヨビノリたくみ曰く、
組合せは、まぁ。樹形図で書いた後に、「数え過ぎ」の部分を「割り算」するということになります。
（ユーチューブ、中学数学からはじめる確率統計、１：１２：５１頃）
然るに、
（02）
① １２＝１と２。
② １３＝１と３。
③ １４＝１と４。
④ １５＝１と５。
⑤ １６＝１と６。
⑥ ２３＝２と３。
⑦ ２４＝２と４。
⑧ ２５＝２と５。
⑨ ２６＝２と６。
⑩ ３４＝３と４。
⑪ ３５＝３と５。
⑫ ３６＝３と６。
⑬ ４５＝４と５。
⑭ ４６＝４と６。
⑮ ５６＝５と６。
とするならば、
① １＜２
② １＜３
③ １＜４
④ １＜５
⑤ １＜６
⑥ ２＜３
⑦ ２＜４
⑧ ２＜５
⑨ ２＜６
⑩ ３＜４
⑪ ３＜５
⑫ ３＜６
⑬ ４＜５
⑭ ４＜６
⑮ ５＜６
である。
然るに、
（03）
① １２＝twelve
② １３＝thirteen
③ １４＝fourteen
④ １５＝fifteen
⑤ １６＝sixteen
⑥ ２３＝twenty three
⑦ ２４＝twenty four
⑧ ２５＝twenty five
⑨ ２６＝twenty six
⑩ ３４＝thirty four
⑪ ３５＝thirty five
⑫ ３６＝thirty six
⑬ ４５＝forty five
⑭ ４６＝forty six
⑮ ５６＝fifty six
であるため、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮
である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① １２
② １３
③ １４
④ １５
⑤ １６
⑥ ２３
⑦ ２４
⑧ ２５
⑨ ２６
⑩ ３４
⑪ ３５
⑫ ３６
⑬ ４５
⑭ ４６
⑮ ５６
といふ「１５通リ」は、「便宜的」に、
① １＜２
② １＜３
③ １＜４
④ １＜５
⑤ １＜６
⑥ ２＜３
⑦ ２＜４
⑧ ２＜５
⑨ ２＜６
⑩ ３＜４
⑪ ３＜５
⑫ ３＜６
⑬ ４＜５
⑭ ４＜６
⑮ ５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮
である。
といふ風に、「見做す」ことが出来る。
従って、
（04）により、
（05）
① １＜２
② １＜３
③ １＜４
④ １＜５
⑤ １＜６
⑥ ２＜３
⑦ ２＜４
⑧ ２＜５
⑨ ２＜６
⑩ ３＜４
⑪ ３＜５
⑫ ３＜６
⑬ ４＜５
⑭ ４＜６
⑮ ５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮
となるように、
｛１，２，３，４，５，６｝
から｛＃，＃｝を選ぶことによって、
① １２
② １３
③ １４
④ １５
⑤ １６
⑥ ２３
⑦ ２４
⑧ ２５
⑨ ２６
⑩ ３４
⑪ ３５
⑫ ３６
⑬ ４５
⑭ ４６
⑮ ５６
といふ「１５通リ」を得ることになる。
従って、
（05）により、
（06）
① １＜２＜３
② １＜２＜４
③ １＜２＜５
④ １＜２＜６
⑤ １＜３＜４
⑥ １＜３＜５
⑦ １＜３＜６
⑧ １＜４＜５
⑨ １＜４＜６
⑩ １＜５＜６
⑪ ２＜３＜４
⑫ ２＜３＜５
⑬ ２＜３＜６
⑭ ２＜４＜５
⑮ ２＜４＜６
⑯ ２＜５＜６
⑰ ３＜４＜５
⑱ ３＜４＜６
⑲ ３＜５＜６
⑳ ４＜５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮＜⑯＜⑰＜⑱＜⑲＜⑳
となるように、
｛１，２，３，４，５，６｝
から｛＃，＃，＃｝を選ぶことによって、
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
といふ「２０通リ」を得ることになる。
然るに、
（07）
① １２３
からは、
① １２３ １３２ ２１３ ２３１ ３１２ ３２１
といふ「３！（６）通リ」を得ることが出来る。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
といふ「２０通リ」からは、
① １２３ １３２ ２１３ ２３１ ３１２ ３２１
② １２４ １４２ ２１４ ２４１ ４１２ ４２１
③ １２５ １５２ ２１５ ２５１ ５１２ ５２１
④ １２６ １６２ ２１６ ２６１ ６１２ ６２１
⑤ １３４ １４３ ３１４ ３４１ ４１３ ４３１
⑥ １３５ １５３ ３１５ ３５１ ５１３ ５３１
⑦ １３６ １６３ ３１６ ３６１ ６１３ ６３１
⑧ １４５ １５４ ４１５ ４５１ ５１４ ５４１
⑨ １４６ １６４ ４１６ ４６１ ６１４ ６４１
⑩ １５６ １６５ ５１６ ５６１ ６１５ ６５１
⑪ ２３４ ２４３ ３２４ ３４２ ４２３ ４３２
⑫ ２３５ ２５３ ３２５ ３５２ ５２３ ５３２
⑬ ２３６ ２６３ ３２６ ３６２ ６２３ ６３２
⑭ ２４５ ２５４ ４２５ ４５２ ５２４ ５４２
⑮ ２４６ ２６４ ４２６ ４６２ ６２４ ６４２
⑯ ２５６ ２６５ ５２６ ５６２ ６２５ ６５２
⑰ ３４５ ３５４ ４３５ ４５３ ５３４ ５４３
⑱ ３４６ ３６４ ４３６ ４６３ ６３４ ６４３
⑲ ３５６ ３６５ ５３６ ５６３ ６３５ ６５３
⑳ ４５６ ４６５ ５４６ ５６４ ６４５ ６５４
といふ「２０×３！＝１２０通リ」を得ることが出来る。
然るに、
（09）
① １２３ １３２ １４２ １５２ １６２
① １２４ １３４ １４３ １５３ １６３
① １２５ １３５ １４５ １５４ １６４
① １２６ １３６ １４６ １５６ １６５
② ２１３ ２３１ ２４１ ２５１ ２６１
② ２１４ ２３４ ２４３ ２５３ ２６３
② ２１５ ２３５ ２４５ ２５４ ２６４
② ２１６ ２３６ ２４６ ２５６ ２６５
③ ３１２ ３２１ ３４１ ３５１ ３６１
③ ３１４ ３２４ ３４２ ３５２ ３６２
③ ３１５ ３２５ ３４５ ３５４ ３６４
③ ３１６ ３２６ ３４６ ３５６ ３６５
④ ４１２ ４２１ ４３１ ４５１ ４６１
④ ４１３ ４２３ ４３２ ４５２ ４６２
④ ４１５ ４２５ ４３５ ４５３ ４６３
④ ４１６ ４２６ ４３６ ４５６ ４６５
⑤ ５１２ ５２１ ５３１ ５４１ ５６１
⑤ ５１３ ５２３ ５３２ ５４２ ５６２
⑤ ５１４ ５２４ ５３４ ５４３ ５６３
⑤ ５１６ ５２６ ５３６ ５４６ ５６４
⑥ ６１２ ６２１ ６３１ ６４１ ６５１
⑥ ６１３ ６２３ ６３２ ６４２ ６５２
⑥ ６１４ ６２４ ６３４ ６４３ ６５３
⑥ ６１５ ６２５ ６３５ ６４５ ６５４
は、「6Ｐ3＝４×５×６＝１２０通リ」は、『樹形図の順番』である。
然るに、
（10）
「公式」として、
6Ｃ3×３！＝6Ｐ3
である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
といふ「２０通リ」は、「6Ｃ3」である。
従って、
（06）（10）（11）により、
（12）
① １＜２＜３
② １＜２＜４
③ １＜２＜５
④ １＜２＜６
⑤ １＜３＜４
⑥ １＜３＜５
⑦ １＜３＜６
⑧ １＜４＜５
⑨ １＜４＜６
⑩ １＜５＜６
⑪ ２＜３＜４
⑫ ２＜３＜５
⑬ ２＜３＜６
⑭ ２＜４＜５
⑮ ２＜４＜６
⑯ ２＜５＜６
⑰ ３＜４＜５
⑱ ３＜４＜６
⑲ ３＜５＜６
⑳ ４＜５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮＜⑯＜⑰＜⑱＜⑲＜⑳
となるように、
｛１，２，３，４，５，６｝
から｛＃，＃，＃｝を選ぶことによって、得ることが出来た、
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
は、「２０通リ」は、「6Ｃ3×３！＝6Ｐ3」でいふ、「6Ｃ3」である。
従って、
（12）により、
（13）
① １＜２＜３＜４
② １＜２＜３＜５
③ １＜２＜３＜６
④ １＜２＜４＜５
⑤ １＜２＜４＜６
⑥ １＜２＜５＜６
⑦ １＜３＜４＜５
⑧ １＜３＜４＜６
⑨ １＜３＜５＜６
⑩ １＜４＜５＜６
⑪ ２＜３＜４＜５
⑫ ２＜３＜４＜６
⑬ ２＜３＜５＜６
⑭ ２＜４＜５＜６
⑮ ３＜４＜５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮
となるように、
｛１，２，３，４，５，６｝
から｛＃，＃，＃，＃｝を選ぶならば、
① １２３４
② １２３５
③ １２３６
④ １２４５
⑤ １２４６
⑥ １２５６
⑦ １３４５
⑧ １３４６
⑨ １３５６
⑩ １４５６
⑪ ２３４５
⑫ ２３４６
⑬ ２３５６
⑭ ２４５６
⑮ ３４５６
は、「6Ｃ4」であって、それ故、
① １２３４ １２４３ １３２４ １３４２ １４２３ １４３２
① ２１３４ ２１４３ ２３１４ ２３４１ ２４１３ ２４３１
① ３１２４ ３１４２ ３２１４ ３２４１ ３４１２ ３４２１
① ４１２３ ４１３２ ４２１３ ４２３１ ４３１２ ４３２１
② １２３５ １２５３ １３２５ １３５２ １５２３ １５３２
② ２１３５ ２１５３ ２３１５ ２３５１ ２５１３ ２５３１
② ３１２５ ３１５２ ３２１５ ３２５１ ３５１２ ３５２１
② ５１２３ ５１３２ ５２１３ ５２３１ ５３１２ ５３２１
③ １２３６ １２６３ １３２６ １３６２ １６２３ １６３２
③ ２１３６ ２１６３ ２３１６ ２３６１ ２６１３ ２６３１
③ ３１２６ ３１６２ ３２１６ ３２６１ ３６１２ ３６２１
③ ６１２３ ６１３２ ６２１３ ６２３１ ６３１２ ６３２１
④ １２４５ １２５４ １４２５ １４５２ １５２４ １５４２
④ ２１４５ ２１５４ ２４１５ ２４５１ ２５１４ ２５４１
④ ４１２５ ４１５２ ４２１５ ４２５１ ４５１２ ４５２１
④ ５１２４ ５１４２ ５２１４ ５２４１ ５４１２ ５４２１
⑤ １２４６ １２６４ １４２６ １４６２ １６２４ １６４２
⑤ ２１４６ ２１６４ ２４１６ ２４６１ ２６１４ ２６４１
⑤ ４１２６ ４１６２ ４２１６ ４２６１ ４６１２ ４６２１
⑤ ６１２４ ６１４２ ６２１４ ６２４１ ６４１２ ６４２１
⑥ １２５６ １２６５ １５２６ １５６２ １６２５ １６５２
⑥ ２１５６ ２１６５ ２５１６ ２５６１ ２６１５ ２６５１
⑥ ５１２６ ５１６２ ５２１６ ５２６１ ５６１２ ５６２１
⑥ ６１２５ ６１５２ ６２１５ ６２５１ ６５１２ ６５２１
⑦ １３４５ １３５４ １４３５ １４５３ １５３４ １５４３
⑦ ３１４５ ３１５４ ３４１５ ３４５１ ３５１４ ３５４１
⑦ ４１３５ ４１５３ ４３１５ ４３５１ ４５１３ ４５３１
⑦ ５１３４ ５１４３ ５３１４ ５３４１ ５４１３ ５４３１
⑧ １３４６ １３６４ １４３６ １４６３ １６３４ １６４３
⑧ ３１４６ ３１６４ ３４１６ ３４６１ ３６１４ ３６４１
⑧ ４１３６ ４１６３ ４３１６ ４３６１ ４６１３ ４６３１
⑧ ６１３４ ６１４３ ６３１４ ６３４１ ６４１３ ６４３１
⑨ １３５６ １３６５ １５３６ １５６３ １６３５ １６５３
⑨ ３１５６ ３１６５ ３５１６ ３５６１ ３６１５ ３６５１
⑨ ５１３６ ５１６３ ５３１６ ５３６１ ５６１３ ５６３１
⑨ ６１３５ ６１５３ ６３１５ ６３５１ ６５１３ ６５３１
⑩ １４５６ １４６５ １５４６ １５６４ １６４５ １６５４
⑩ ４１５６ ４１６５ ４５１６ ４５６１ ４６１５ ４６５１
⑩ ５１４６ ５１６４ ５４１６ ５４６１ ５６１４ ５６４１
⑩ ６１４５ ６１５４ ６４１５ ６４５１ ６５１４ ６５４１
⑪ ２３４５ ２３５４ ２４３５ ２４５３ ２５３４ ２５４３
⑪ ３２４５ ３２５４ ３４２５ ３４５２ ３５２４ ３５４２
⑪ ４２３５ ４２５３ ４３２５ ４３５２ ４５２３ ４５３２
⑪ ５２３４ ５２４３ ５３２４ ５３４２ ５４２３ ５４３２
⑫ ２３４６ ２３６４ ２４３６ ２４６３ ２６３４ ２６４３
⑫ ３２４６ ３２６４ ３４２６ ３４６２ ３６２４ ３６４２
⑫ ４２３６ ４２６３ ４３２６ ４３６２ ４６２３ ４６３２
⑫ ６２３４ ６２４３ ６３２４ ６３４２ ６４２３ ６４３２
⑬ ２３５６ ２３６５ ２５３６ ２５６３ ２６３５ ２６５３
⑬ ３２５６ ３２６５ ３５２６ ３５６２ ３６２５ ３６５２
⑬ ５２３６ ５２６３ ５３２６ ５３６２ ５６２３ ５６３２
⑬ ６２３５ ６２５３ ６３２５ ６３５２ ６５２３ ６５３２
⑭ ２４５６ ２４６５ ２５４６ ２５６４ ２６４５ ２６５４
⑭ ４２５６ ４２６５ ４５２６ ４５６２ ４６２５ ４６５２
⑭ ５２４６ ５２６４ ５４２６ ５４６２ ５６２４ ５６４２
⑭ ６２４５ ６２５４ ６４２５ ６４５２ ６５２４ ６５４２
⑮ ３４５６ ３４６５ ３５４６ ３５６４ ３６４５ ３６５４
⑮ ４３５６ ４３６５ ４５３６ ４５６３ ４６３５ ４６５３
⑮ ５３４６ ５３６４ ５４３６ ５４６３ ５６３４ ５６４３
⑮ ６３４５ ６３５４ ６４３５ ６４５３ ６５３４ ６５４３
であれば、
6Ｐ4＝（6Ｃ4＝６×５×４×３÷４！）×４！＝３６０
である。
従って、
（01）（12）（13）により、
（14）
Ｑ：「組合せ」は「樹形図」では書けないのですか？
といふ「質問」が、
Ｑ：「組合せ」は「順列」のように、「機械的」に書けないのですか？
といふ「質問」であるならば、
Ａ：ありません。
ではなく、
Ａ：あるけれど、
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
を書くことは、「（順列の）樹形図」を書くよりは、少しだけ難しいが、馴れれば、簡単である。
といふ、ことになる。