（934）「ド・モルガンの法則」の「定義」について（Ⅱ）。

　―「昨日（令和０３年０６月０３日）の記事」を補足します。―
（01）
（ⅰ）αとβが「矛盾」するならば、
（ⅱ）　　βの「否定」は、αに「等しい」。
といふことを以て、
　α＝～β
といふ「等式」が、成立するならば、そのときに限って、
　α＝～β
といふ「等式」を、「（定義による）ド・モルガンの法則」と呼ぶことにする。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　（１）　　　Ｐ　　Ａ
　２（２）　　～Ｐ　　Ａ
１２（３）Ｐ＆～Ｐ　　１２＆Ｉ（矛盾）
１　（４）～（～Ｐ）　２ＲＡＡ（背理法）
（ⅱ）
１　（１）～（～Ｐ）　Ａ
１　（２）　　　Ｐ　　１ＤＮ
∴　Ｐ┤├ ～（～Ｐ）
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 　　　Ｐ
② ～（～Ｐ）
に於いて、
①＝② は、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
ｃｆ.
「Ｐの補集合」の「補集合」は、「Ｐ」に「等しい」。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　４５＆Ｉ（矛盾）
１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ（背理法）
（ⅳ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ（矛盾）
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ（背理法）
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　　Ｐ→Ｑ　　　２７ＣＰ
∴　Ｐ→Ｑ┤├ ～（Ｐ＆～Ｑ）
（05）
（ⅴ）
１　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　３４＆Ｉ（矛盾）
　２　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　３５ＲＡＡ（背理法）
　　　７（７）　　　　　Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ（矛盾）
　　　７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ（背理法）
１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　１２６７ア∨Ｅ
（ⅵ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２４＆Ｉ（矛盾）
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ（背理法）
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　　～Ｑ　　　８ＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　７イ＆Ｉ
１２　　（エ）　～（　Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆～Ｑ）　　１ウ＆Ｉ（矛盾）
１　　　（オ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　２エＲＡＡ（背理法）
１　　　（カ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　オＤＮ
∴　～Ｐ∨Ｑ┤├ ～（Ｐ＆～Ｑ）
（06）
（ⅶ）
１　　　　　（１）　　Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（２）　～Ｐ∨　～Ｑ∨～Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（３）　～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ）　　２結合法則
　　４　　　（４）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　４　　　（６）　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　４５＆Ｉ（矛盾）
　　４　　　（７）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１６ＲＡＡ（背理法）
　　　８　　（８）　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
１　　　　　（ア）　　　　　　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
１　　　９　（イ）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　９ア＆Ｉ（矛盾）
　　　　９　（ウ）～（　Ｐ＆　Ｑ　＆Ｒ）　　１９ＲＡＡ（背理法）
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
１　　　　　（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　１＆Ｅ
１　　　　エ（カ）　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　エオ＆Ｉ（矛盾）
　　　　　エ（キ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１カＲＡＡ（背理法）
　　　８　　（ク）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　８９ウエキ∨Ｅ
　２　　　　（ケ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　３４７８ク∨Ｅ
１２　　　　（コ）　（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆
　　　　　　　　　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１ケ＆Ｉ（矛盾）
１　　　　　（サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２コＲＡＡ（背理法）
（ⅷ）
１　　　　（１）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　２　　（２）　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　２　　（３）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　２∨Ｉ
　　２　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　３∨Ｉ
１　２　　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１４＆Ｉ（矛盾）
１　　　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　　　　２５ＲＡＡ（背理法）
１　　　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　　６ＤＮ
　　　８　（８）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　８　（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　７∨Ｉ
　　　８　（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　８∨Ｉ
１　　８　（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１ア＆Ｉ（矛盾）
１　　　　（ウ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　８ＲＡＡ（背理法）
１　　　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　オ∨Ｉ
　　　　オ（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　カ∨Ｉ
１　　　オ（ク）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１オ＆Ｉ（矛盾）
１　　　　（ケ）　　　　　　　　～～Ｒ　　　オケＲＡＡ（背理法）
１　　　　（コ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　ケＤＮ
１　　　　（サ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　７エ＆Ｉ
１　　　　（シ）　　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　コサ＆Ｉ
∴　Ｐ＆Ｑ＆Ｒ ┤├ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
（07）
（ⅸ）
１　　　　　　（１）　　（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ　　Ａ
　２　　　　　（２）　（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ　　Ａ
１　　　　　　（３）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
　　４　　　　（４）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　５　　　（５）　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　４　　　　（６）　　～Ｐ　　　　　　　　　４＆Ｅ
　　４５　　　（７）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　５６＆Ｉ
　　　５　　　（８）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　４７ＲＡＡ
　　　　９　　（９）　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　４　　　　（ア）　　　　　～Ｑ　　　　　　４＆Ｅ
　　４　９　　（イ）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　　（ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　４イＲＡＡ
１　　　　　　（エ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　３５８９ウ∨Ｅ
　　　　　オ　（オ）　（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　Ａ
１　　　　オ　（カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　エオ＆Ｉ
　　　　　オ　（キ）～｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝　　１カＲＡＡ
１　　　　　　（ク）　　　　　　　　　　Ｒ　　　１＆Ｅ
　　　　　　ケ（ケ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
１　　　　　ケ（コ）　　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　クケ＆Ｉ
　　　　　　ケ（サ）～｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝　　１コＲＡＡ
　２　　　　　（シ）～｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝　　２オキケサ∨Ｅ
１２　　　　　（ス）　｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝＆
　　　　　　　　　　～｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝　　１シ＆Ｉ（矛盾）
１　　　　　　（セ）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝　２スＲＡＡ（背理法）
（ⅹ）
１　　　　　　　　（１）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝　　Ａ
　２　　　　　　　（２）　～｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝　　Ａ
　　３　　　　　　（３）　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　Ａ
　　　４　　　　　（４）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　　３４　　　　　（５）　　　（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ　　　３４＆Ｉ
　２３４　　　　　（６）　～｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝＆
　　　　　　　　　　　　　　｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ　　　２５＆Ｉ
　２３　　　　　　（７）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　４ＲＡＡ
　２　　　　　　　（８）　　　（Ｐ∨　Ｑ）→～Ｒ　　　３７ＣＰ
　　　　９　　　　（９）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　　　　９　　　　（ア）　　　　　　　　　～～Ｒ　　　９ＤＮ
　２　　９　　　　（イ）　　～（Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　８アＭＴＴ
　　　　　ウ　　　（ウ）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　Ａ
　　　　　　エ　　（エ）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　エ　　（オ）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　エ∨Ｉ
　２　　９　エ　　（カ）　　～（Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　イオ＆Ｉ
　２　　９　　　　（キ）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　エカＲＡＡ
　　　　　　　ク　（ク）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　　　　　ク　（ケ）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　クカ∨Ｉ
　２　　９　　ク　（コ）　　～（Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　イケ＆Ｉ
　２　　９　　　　（サ）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　クコＲＡＡ
　２　　９　　　　（シ）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　キサ＆Ｉ
　２　　９ウ　　　（セ）　～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　ウシ＆Ｉ
　２　　９　　　　（ソ）～～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　ウセＲＡＡ
　２　　９　　　　（タ）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　ソＤＮ
　２　　　　　　　（チ）　　　Ｒ→（～Ｐ＆～Ｑ）　　　９タＣＰ
　　　　　　　　ツ（ツ）　　～Ｒ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　　　ツ（テ）　　（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ　　　ツ∨Ｉ
１　　　　　　　ツ（ト）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝　　１テ＆Ｉ
１　　　　　　　　（ナ）　～～Ｒ　　　　　　　　　　　ツトＲＡＡ
１　　　　　　　　（ニ）　　　Ｒ　　　　　　　　　　　ナＤＮ
１２　　　　　　　（ヌ）　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　　チニＭＰＰ
１２　　　　　　　（ネ）　　（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ　　　ヌ∨Ｉ
１２　　　　　　　（ノ）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝　　１ネ＆Ｉ（矛盾）
１　　　　　　　　（ハ）～～｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝　　２ノＲＡＡ（背理法）
１　　　　　　　　（ヒ）　　　（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ　　　ハＤＮ
∴　（Ｐ∨Ｑ）＆Ｒ ┤├ ～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝
（08）
（ⅰ）
１　　　　　（１）　　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）　　Ａ
　２　　　　（２）　　　～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　３　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　　　　Ｑ＆　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　２＆Ｅ
　　　７　　（９）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　７＆Ｅ
　　　　ア　（ア）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　７ア　（イ）　　　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　９ア＆Ｉ
　　　　ア　（ウ）　　　　　　～（Ｑ＆　Ｒ）　　７イＲＡＡ
　　　７　　（エ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　２＆Ｅ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　７　オ（カ）　　　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　エオ＆Ｉ
　　　　　オ（キ）　　　　　　～（Ｑ＆　Ｒ）　　７カＲＡＡ
　２　　　　（ク）　　　　　　～（Ｑ＆　Ｒ）　　８アウオキ∨Ｅ
　２　７　　（ケ）（Ｑ＆Ｒ）＆～（Ｑ＆　Ｒ）　　７ク＆Ｉ（矛盾）
　　　７　　（コ）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　２ケＲＡＡ（背理法）
１　　　　　（サ）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　１３６７コ∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　　１３６７コ∨Ｅ
　２　　　　（２）　　～｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝　　Ａ
　　３　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　　（４）　　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）　　　３∨Ｉ
　２３　　　（５）　　～｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　　　　｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝　　２４＆Ｉ
　２　　　　（６）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　３ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　　Ａ
　２　７　　（８）　　　～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）　　　６７＆Ｉ
１２　７　　（９）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　　　｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　　１８＆Ｉ
１２　　　　（ア）　　　　　～（～Ｑ∨～Ｒ）　　　７９ＲＡＡ
　　　　イ　（イ）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　　イ　（ウ）　　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　　イ∨Ｉ
１２　　イ　（エ）　　　　　～（～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　　アウ＆Ｉ
１２　　　　（オ）　　　　　　～～Ｑ　　　　　　　イエＲＡＡ
１２　　　　（カ）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　オＤＮ
　　　　　キ（キ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　Ａ
　　　　　キ（ク）　　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　　キ∨Ｉ
１２　　　キ（ケ）　　　　　～（～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　　アク＆Ｉ
１２　　　　（コ）　　　　　　　　　～～Ｒ　　　　キケＲＡＡ
１２　　　　（サ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　コＤＮ
１２　　　　（シ）　　　　　　　　Ｑ＆　Ｒ　　　　カサ＆Ｉ
１２　　　　（ス）　　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）　　　シ∨Ｉ
１２　　　　（セ）　　～｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　　　　｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝　　２ス＆Ｉ（矛盾）
１　　　　　（ソ）　～～｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝　　２ＲＡＡ（背理法）
１　　　　　（タ）　　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）　　　ソＤＮ
∴　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）┤├ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
従って、
（01）～（08）により、
（09）
① 　 　 Ｐ
② ～（～Ｐ）
③　　   Ｐ→Ｑ
④   ～Ｐ∨　Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆～Ｑ）
⑥　　　 Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
⑦ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑧      （Ｐ∨  Ｑ）＆  Ｒ
⑨～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝
⑩        Ｐ∨（  Ｑ＆  Ｒ）
⑪  ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に於いて、
①＝②
③＝⑤
④＝⑤
⑥＝⑦
⑧＝⑨
⑩＝⑪
は、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（10）
④ ～Ｐ∨　Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於ける、
④＝⑤ に関しては、「（普通の、）ド・モルガンの法則」である。
従って、
（01）（09）（10）により、
（11）
（ⅰ）αとβが「矛盾」するならば、
（ⅱ）　　βの「否定」は、αに「等しい」。
といふことを以て、
　α＝～β
といふ「等式」が、成立するならば、そのときに限って、
　α＝～β
といふ「等式」を、 「（定義による）ド・モルガンの法則」と呼ぶならば、
「（普通の、）　ド・モルガンの法則」は、
「（定義による）ド・モルガンの法則」である。