(01)
―「ド・モルガンの法則」の証明(Ⅰ)。―
(ⅰ)
1 (1) ~( P& Q) A
2 (2) ~(~P∨~Q) A
3 (3) ~P A
3 (4) ~P∨~Q 3∨I
23 (5) ~(~P∨~Q)&
(~P∨~Q) 24&I
2 (6) ~~P 35RAA
2 (7) P 6DN
8(8) ~Q A
8(9) ~P∨~Q 8∨I
2 8(ア) ~(~P∨~Q)&
~P∨~Q 29&I
2 (イ) ~~Q 8アRAA
2 (ウ) Q イDN
2 (エ) P& Q 7ウ&I
12 (オ) ~( P& Q)&
( P& Q) 1エ&I
1 (カ)~~(~P∨~Q) 2オRAA
1 (キ) ~P∨~Q カDN
(ⅱ)
1 (1) ~P∨~Q A
2 (2) P& Q A
3 (3) ~P A
2 (4) P 2&E
23 (5) ~P&P 34&I
3 (6) ~( P& Q) 25RAA
7(7) ~Q A
2 (8) Q 2&E
2 7(9) ~Q&Q 78&I
7(ア) ~( P& Q) 29RAA
1 (イ) ~( P& Q) 1367ア∨E
(02)
―「ド・モルガンの法則」の証明(Ⅱ)。―
(ⅲ)
1 (1)~{ P&Q & R} A
1 (2)~{(P&Q)& R} 1結合法則
1 (3) ~(P&Q)∨~R 2ド・モルガンの法則
4 (4) ~(P&Q) A
4 (5)(~P∨~Q) 4ド・モルガンの法則
4 (6)(~P∨~Q)∨~R 5∨I
7(7) ~R A
7(8)(~P∨~Q)∨~R 7∨I
1 (9)(~P∨~Q)∨~R 14678∨E
1 (ア) ~P∨~Q ∨~R 9結合法則
(ⅳ)
1 (1) ~P∨~Q ∨~R A
1 (2)(~P∨~Q)∨~R 1結合法則
3 (3)(~P∨~Q) A
3 (4) ~(P&Q) 3ド・モルガンの法則
3 (5) ~(P&Q)∨~R 4∨I
6(6) ~R A
6(7) ~(P&Q)∨~R 6∨I
1 (8) ~(P&Q)∨~R 13567∨E
1 (9)~{(P&Q)& R} 6ド・モルガンの法則
1 (ア)~{ P&Q & R} 9結合法則
(03)
―「ド・モルガンの法則」の証明(Ⅲ)。―
(ⅴ)
1(1)~{ P∨Q ∨ R} A
1(2)~{(P∨Q)∨ R} 1結合法則
1(3) ~(P∨Q)&~R 2ド・モルガンの法則
1(4) ~(P∨Q) 3&E
1(5) ~P&~Q 4ド・モルガンの法則
1(6) ~R 3&E
1(7)(~P&~Q)&~R 56&I
1(8) ~P&~Q &~R 7結合法則
(ⅵ)
1(1) ~P&~Q &~R A
1(2)(~P&~Q)&~R 1結合法則
1(3)(~P&~Q) 2&E
1(4) ~(P∨Q) 3ド・モルガンの法則
1(5) ~R 2&E
1(6) ~(P∨Q)&~R 45&I
1(7)~{(P∨Q)∨ R} 6ド・モルガンの法則
1(8)~{ P∨Q ∨ R} 7結合法則
(04)
―「ド・モルガンの法則」の証明(Ⅳ)。―
(ⅶ)
1(1)~{(P&Q)∨ R} A
1(2) ~(P&Q)&~R 1ド・モルガンの法則
1(3) ~(P&Q) 2&E
1(4)(~P∨~Q) 3ド・モルガンの法則
1(5) ~R 2&E
1(6)(~P∨~Q)&~R 45&I
(ⅷ)
1(1)(~P∨~Q)&~R A
1(2)(~P∨~Q) 1&E
1(3)~(P& Q) 2ド・モルガンの法則
1(4) ~R 1&E
1(5) ~(P&Q)&~R 34&I
1(6)~{(P&Q)∨ R} 5ド・モルガンの法則
(05)
―「ド・モルガンの法則」の証明(Ⅴ)。―
(ⅸ)
1 (1)~{P& (Q∨ R)} A
1 (2) ~P∨~(Q∨ R) 1ド・モルガンの法則
3 (3) ~P A
3 (4) ~P∨(~Q&~R) 3∨I
5(5) ~(Q∨ R) A
5(6) ~Q&~R 5ド・モルガンの法則
5(7) ~P∨(~Q&~R) 6∨I
1 (8) ~P∨(~Q&~R) 23457∨E
(ⅹ)
1 (1) ~P∨(~Q&~R) A
2 (2) ~P A
2 (3) ~P∨~(Q∨ R) 2∨I
4(5) (~Q&~R) A
4(6) ~(Q∨ R) A
4(7) ~P∨~(Q∨ R) 6∨I
1 (8) ~P∨~(Q∨ R) 12347∨E
1 (9)~{P& (Q∨ R)} 8ド・モルガンの法則
従って、
(01)~(05)により、
(06)
① ~(P& Q)
② ~P∨~Q
③ ~(P& Q& R)
④ ~P∨~Q∨~R
⑤ ~(P∨ Q∨ R)
⑥ ~P&~Q&~R
⑦ ~{(P& Q)∨ R}
⑧ (~P∨~Q)&~R
⑨ ~{P&( Q∨ R)}
⑩ ~P∨(~Q&~R)
に於いて、
①=②
③=④
⑤=⑥
⑦=⑧
⑨=⑩
である(ド・モルガンの法則)。
然るに、
(07)
―「含意の定義」の証明。―
(ⅰ)
1 (1) P→Q A
2 (2) ~(~P∨Q) A
3(3) ~P A
3(4) ~P∨Q 3∨I
23(5) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 24&I
2 (6) ~~P 35RAA
2 (7) P 6DN
12 (8) Q 17MPP
12 (9) ~P∨Q 8∨I
12 (ア) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 29&I
1 (イ)~~(~P∨Q) 2アRAA
1 (ウ) ~P∨Q イDN
(ⅱ)
1 (1) ~P∨ Q A
2 (2) P&~Q A
3 (3) ~P A
2 (4) P 2&E
23 (5) ~P&P 34&I
3 (6)~(P&~Q) 25RAA
7 (7) Q A
2 (8) ~Q 2&E
2 7 (9) Q&~Q 78&I
7 (ア)~(P&~Q) 29RAA
1 (イ)~(P&~Q) 1367ア∨E
ウ (ウ) P A
エ(エ) ~Q A
ウエ(オ) P&~Q ウエ&I
1 ウエ(カ)~(P&~Q)&
(P&~Q) イオ&I
1 ウ (キ) ~~Q エカRAA
1 ウ (ク) Q キDN
1 (ケ) P→ Q ウクCP
従って、
(07)により、
(08)
① P→Q≡Pならば、Qである。
② ~P∨Q≡Pでないか、または、Qである。
に於いて、
①=② である(含意の定義)。
従って、
(06)(07)(08)により、
(09)
① ~(P& Q)
② P→~Q
③ ~(P& Q& R)
④ P→ Q→ R
⑤ ~(P∨ Q∨ R)
⑥ ~P&~Q&~R
⑦ ~{(P& Q)∨ R}
⑧ (P→~Q)&~R
⑨ ~{P&( Q∨ R)}
⑩ P→(~Q&~R)
に於いて、
①=②
③=④
⑤=⑥
⑦=⑧
⑨=⑩
である(ド・モルガンの法則&含意の定義)。
従って、
(09)により、
(10)
例へば、
⑨ ~{P&( Q∨ R)}≡{Pであって、 (Qであるか、または、Rである)}といふことはない。
⑩ P→(~Q&~R) ≡ Pであるならば、(Qではないし、 Rでもない)。
に於いて、
⑨=⑩ である。
従って、
(10)により、
(11)
⑨ ~{無&( 偶∨ 奇)}≡{無理数であって、 (偶数であるか、または、奇数である)}といふことはない。
⑩ 無→(~偶&~奇) ≡ 無理数であるならば、(偶数ではないし、 奇数でもない)。
に於いて、
⑨=⑩ である。
然るに、
(12)
⑨{無理数であって、 (偶数であるか、または、奇数である)}といふことはない。
⑩ 無理数であるならば、(偶数ではないし、 奇数でもない)。
に於いて、
⑨=⑩ である。
といふことは、「当然」である。
cf.
無理数(むりすう、 英: irrational number)とは、有理数ではない実数、つまり分子・分母ともに整数である分数(比 = 英: ratio)として表すことのできない実数を指す(ウィキペディア)。
従って、
(13)
「含意の定義」は、「当然」であるし、
「ド・モルガンの法則」も、「当然」である。
従って、
(01)~(13)により、
(14)
―「ド・モルガンの法則」の証明(Ⅰ)。―
(ⅰ)
1 (1) ~( P& Q) A
2 (2) ~(~P∨~Q) A
3 (3) ~P A
3 (4) ~P∨~Q 3∨I
23 (5) ~(~P∨~Q)&
(~P∨~Q) 24&I
2 (6) ~~P 35RAA
2 (7) P 6DN
8(8) ~Q A
8(9) ~P∨~Q 8∨I
2 8(ア) ~(~P∨~Q)&
~P∨~Q 29&I
2 (イ) ~~Q 8アRAA
2 (ウ) Q イDN
2 (エ) P& Q 7ウ&I
12 (オ) ~( P& Q)&
( P& Q) 1エ&I
1 (カ)~~(~P∨~Q) 2オRAA
1 (キ) ~P∨~Q カDN
(ⅱ)
1 (1) ~P∨~Q A
2 (2) P& Q A
3 (3) ~P A
2 (4) P 2&E
23 (5) ~P&P 34&I
3 (6) ~( P& Q) 25RAA
7(7) ~Q A
2 (8) Q 2&E
2 7(9) ~Q&Q 78&I
7(ア) ~( P& Q) 29RAA
1 (イ) ~( P& Q) 1367ア∨E
といふ「計算」は、「ド・モルガンの法則」といふ「当然の理」を、「A、∨I、&I、RAA、DN、∨E」といふ「規則」で、「説明」してゐる。
といふ、ことになる。