（01）
―「ド・モルガンの法則」の証明（Ⅰ）。―
（ⅰ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
～Ｐ∨～Ｑ ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（ Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（02）
―「ド・モルガンの法則」の証明（Ⅱ）。―
（ⅲ）
１ （１）～｛ Ｐ＆Ｑ ＆ Ｒ｝ Ａ
１ （２）～｛（Ｐ＆Ｑ）＆ Ｒ｝ １結合法則
１ （３） ～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｒ ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
４ （５）（～Ｐ∨～Ｑ） ４ド・モルガンの法則
４ （６）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ ５∨Ｉ
７（７） ～Ｒ Ａ
７（８）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ ７∨Ｉ
１ （９）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ １４６７８∨Ｅ
１ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ ∨～Ｒ ９結合法則
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ ∨～Ｒ Ａ
１ （２）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ １結合法則
３ （３）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （４） ～（Ｐ＆Ｑ） ３ド・モルガンの法則
３ （５） ～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｒ ４∨Ｉ
６（６） ～Ｒ Ａ
６（７） ～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） ～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～｛（Ｐ＆Ｑ）＆ Ｒ｝ ６ド・モルガンの法則
１ （ア）～｛ Ｐ＆Ｑ ＆ Ｒ｝ ９結合法則
（03）
―「ド・モルガンの法則」の証明（Ⅲ）。―
（ⅴ）
１（１）～｛ Ｐ∨Ｑ ∨ Ｒ｝ Ａ
１（２）～｛（Ｐ∨Ｑ）∨ Ｒ｝ １結合法則
１（３） ～（Ｐ∨Ｑ）＆～Ｒ ２ド・モルガンの法則
１（４） ～（Ｐ∨Ｑ） ３＆Ｅ
１（５） ～Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
１（６） ～Ｒ ３＆Ｅ
１（７）（～Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｒ ５６＆Ｉ
１（８） ～Ｐ＆～Ｑ ＆～Ｒ ７結合法則
（ⅵ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ ＆～Ｒ Ａ
１（２）（～Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｒ １結合法則
１（３）（～Ｐ＆～Ｑ） ２＆Ｅ
１（４） ～（Ｐ∨Ｑ） ３ド・モルガンの法則
１（５） ～Ｒ ２＆Ｅ
１（６） ～（Ｐ∨Ｑ）＆～Ｒ ４５＆Ｉ
１（７）～｛（Ｐ∨Ｑ）∨ Ｒ｝ ６ド・モルガンの法則
１（８）～｛ Ｐ∨Ｑ ∨ Ｒ｝ ７結合法則
（04）
―「ド・モルガンの法則」の証明（Ⅳ）。―
（ⅶ）
１（１）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｒ｝ Ａ
１（２） ～（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ １ド・モルガンの法則
１（３） ～（Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
１（４）（～Ｐ∨～Ｑ） ３ド・モルガンの法則
１（５） ～Ｒ ２＆Ｅ
１（６）（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ ４５＆Ｉ
（ⅷ）
１（１）（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ Ａ
１（２）（～Ｐ∨～Ｑ） １＆Ｅ
１（３）～（Ｐ＆ Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） ～Ｒ １＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ ３４＆Ｉ
１（６）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｒ｝ ５ド・モルガンの法則
（05）
―「ド・モルガンの法則」の証明（Ⅴ）。―
（ⅸ）
１ （１）～｛Ｐ＆ （Ｑ∨ Ｒ）｝ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） １ド・モルガンの法則
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ３∨Ｉ
５（５） ～（Ｑ∨ Ｒ） Ａ
５（６） ～Ｑ＆～Ｒ ５ド・モルガンの法則
５（７） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ２３４５７∨Ｅ
（ⅹ）
１ （１） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） ２∨Ｉ
４（５） （～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
４（６） ～（Ｑ∨ Ｒ） Ａ
４（７） ～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） １２３４７∨Ｅ
１ （９）～｛Ｐ＆ （Ｑ∨ Ｒ）｝ ８ド・モルガンの法則
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
⑤ ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
⑧ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
⑨ ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
⑩ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝②
③＝④
⑤＝⑥
⑦＝⑧
⑨＝⑩
である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（07）
―「含意の定義」の証明。―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（07）により、
（08）
① Ｐ→Ｑ≡Ｐならば、Ｑである。
② ～Ｐ∨Ｑ≡Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② Ｐ→～Ｑ
③ ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
④ Ｐ→ Ｑ→ Ｒ
⑤ ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
⑧ （Ｐ→～Ｑ）＆～Ｒ
⑨ ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
⑩ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝②
③＝④
⑤＝⑥
⑦＝⑧
⑨＝⑩
である（ド・モルガンの法則＆含意の定義）。
従って、
（09）により、
（10）
例へば、
⑨ ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝≡｛Ｐであって、 （Ｑであるか、または、Ｒである）｝といふことはない。
⑩ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） ≡ Ｐであるならば、（Ｑではないし、 Ｒでもない）。
に於いて、
⑨＝⑩ である。
従って、
（10）により、
（11）
⑨ ～｛無＆（ 偶∨ 奇）｝≡｛無理数であって、 （偶数であるか、または、奇数である）｝といふことはない。
⑩ 無→（～偶＆～奇） ≡ 無理数であるならば、（偶数ではないし、 奇数でもない）。
に於いて、
⑨＝⑩ である。
然るに、
（12）
⑨｛無理数であって、 （偶数であるか、または、奇数である）｝といふことはない。
⑩ 無理数であるならば、（偶数ではないし、 奇数でもない）。
に於いて、
⑨＝⑩ である。
といふことは、「当然」である。
ｃｆ.
無理数（むりすう、 英: irrational number）とは、有理数ではない実数、つまり分子・分母ともに整数である分数（比 = 英: ratio）として表すことのできない実数を指す（ウィキペディア）。
従って、
（13）
「含意の定義」は、「当然」であるし、
「ド・モルガンの法則」も、「当然」である。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
―「ド・モルガンの法則」の証明（Ⅰ）。―
（ⅰ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
～Ｐ∨～Ｑ ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（ Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
といふ「計算」は、「ド・モルガンの法則」といふ「当然の理」を、「Ａ、∨Ｉ、＆Ｉ、ＲＡＡ、ＤＮ、∨Ｅ」といふ「規則」で、「説明」してゐる。
といふ、ことになる。