(01)
―「含意の定義」の証明。―
(ⅰ)
1 (1) P→Q A
2 (2) ~(~P∨Q) A
3(3) ~P A
3(4) ~P∨Q 3∨I(選言導入)
23(5) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 24&I
2 (6) ~~P 35RAA
2 (7) P 6DN
12 (8) Q 17MPP
12 (9) ~P∨Q 8∨I(選言導入)
12 (ア) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 29&I
1 (イ)~~(~P∨Q) 2アRAA
1 (ウ) ~P∨Q イDN
(ⅱ)
1 (1) ~P∨ Q A
2 (2) P&~Q A
3 (3) ~P A
2 (4) P 2&E
23 (5) ~P&P 34&I
3 (6)~(P&~Q) 25RAA
7 (7) Q A
2 (8) ~Q 2&E
2 7 (9) Q&~Q 78&I
7 (ア)~(P&~Q) 29RAA
1 (イ)~(P&~Q) 1367ア∨E
ウ (ウ) P A
エ(エ) ~Q A
ウエ(オ) P&~Q ウエ&I
1 ウエ(カ)~(P&~Q)&
(P&~Q) イオ&I
1 ウ (キ) ~~Q エカRAA
1 ウ (ク) Q キDN
1 (ケ) P→ Q ウクCP
然るに、
(02)
1(1) P A
1(2) ~T∨P 1∨I(選言導入)
1(3) T→P 2含意の定義
1(4) ~S∨(T→P) 3∨I(選言導入)
1(5) S→(T→P) 4含意の定義
1(6) ~R∨(S→(T→P)) 5∨I(選言導入)
1(7) R→(S→(T→P)) 6含意の定義
1(8)~Q∨(R→(S→(T→P))) 7∨I(選言導入)
1(9) Q→(R→(S→(T→P))) 8含意の定義
従って、
(02)により、
(03)
例へば、
① P├ T→P
① P├ S→(T→P)
① P├ R→(S→(T→P))
① P├ Q→(R→(S→(T→P)))
といふ「連式(Sequent)」は、「妥当」である。
然るに、
(04)
演繹定理(Deduction theorem)は次のように表現される。
A は論理式で、B も論理式で、Γ は複数の論理式の列であるとする。
このとき、
Γ,A├ B
であるならば、
Γ├ A→B
であるが、
Γ が空のときは当然、
├ A→B
である。
(長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、39・40頁改)
従って、
(03)(04)により、
(05)
「演繹的理」により、
② ├ P→(T→P)
② ├ P→(S→(T→P))
② ├ P→(R→(S→(T→P)))
② ├ P→(Q→(R→(S→(T→P))))
といふ「連式(Sequent)」は、「妥当」である。
従って、
(02)~(05)により、
(06)
1(1) P A
1(2) ~T∨P 1∨I(選言導入)
1(3) T→P 2含意の定義
1(4) ~S∨(T→P) 3∨I(選言導入)
1(5) S→(T→P) 4含意の定義
1(6) ~R∨(S→(T→P)) 5∨I(選言導入)
1(7) R→(S→(T→P)) 6含意の定義
1(8) ~Q∨(R→(S→(T→P))) 7∨I(選言導入)
1(9) Q→(R→(S→(T→P))) 8含意の定義
(ア)P→(Q→(R→(S→(T→P)))) 19CP(演繹定理)
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
(07)
① P→(T→P)
① P→(S→(T→P))
① P→(R→(S→(T→P)))
① P→(Q→(R→(S→(T→P))))
に於いて、
Pは、「真」であるか、「偽」であるかの、いづれかである。
然るに、
(08)
① A→B は、
① 真→偽 であるならば、そのときに限って「偽」である。
従って、
(08)により、
(09)
① 真→(T→真)
① 真→(S→(T→真))
① 真→(R→(S→(T→真)))
① 真→(Q→(R→(S→(T→真))))
は、4つとも、「真」であり、
① 偽→(T→偽)
① 偽→(S→(T→偽))
① 偽→(R→(S→(T→偽)))
① 偽→(Q→(R→(S→(T→偽))))
も、4つとも、「真」である。
従って、
(07)(08)(09)により、
(10)
いづれにせよ、
① P→(T→P)
① P→(S→(T→P))
① P→(R→(S→(T→P)))
① P→(Q→(R→(S→(T→P))))
といふ「論理式」は、「真(トートロジー)」である。
然るに、
(11)
(ⅰ)
1 (1)P→(Q→(R→(S→(T→P)))) A
2 (2)P&Q&R&S&T A
2 (3)P 2&E
2 (4) Q 2&E
2 (5) R 2&E
2 (6) S 2&E
2 (7) T 2&E
12 (8) Q→(R→(S→(T→P))) 13MPP
12 (9) R→(S→(T→P)) 48MPP
12 (ア) S→(T→P)) 59MPP
12 (イ) T→P 6アMPP
1 (ウ) P 7イMPP
(エ)(P&Q&R&S&T)→P 1ウCP(演繹定理)
(ⅱ)
1 (1)(P&Q&R&S&T)→P A
2 (2) P A
3 (3) Q A
4 (4) R A
5 (5) S A
6(6) T A
23 (7)P&Q 34&I
234 (8)P&Q&R 47&I
2345 (9)P&Q&R&S 58&I
23456(ア)P&Q&R&S&T 69&I
123456(イ) P 1アMPP
12345 (ウ) T→P 6イCP(演繹定理)
1234 (エ) S→(T→P) 5ウCP(演繹定理)
123 (オ) R→(S→(T→P)) 4エCP(演繹定理)
12 (カ) Q→(R→(S→(T→P))) 3オCP(演繹定理)
1 (キ)P→(Q→(R→(S→(T→P)))) 2カCP(演繹定理)
従って、
(11)により、
(12)
① P→(Q→(R→(S→(T →P))))
②(P& Q& R& S& T)→P
に於いて、
①=② である(移入律・移出律)。
従って、
(11)(12)により、
(13)
① P→(Q →P)
②(P& Q)→P
に於いて、
①=② である(移入律・移出律)。
然るに、
(14)
① Pならば(Qならば、Pである)。
②(PであってQである)ならば、Pである。
に於いて、
② は、「当然」であるが、
① は、「奇異」である。
然るに、
(15)
因みに、
① P→(Q→P)
① Pならば(Qならば、Pである)。
は、「ルカジェヴィッツの公理(Ⅰ)」である。
然るに、
(16)
(ⅰ)
1(1) P A
1(2) ~Q∨P 1∨I(選言導入)
1(3) Q→P 2含意の定義
(4)P→( Q→P) 13CP(演繹定理)
(ⅱ)
1(1) P A
1(2) Q∨P 1∨I(選言導入)
1(3) ~~Q∨P 2DN
1(4) ~Q→P 3含意の定義
(5)P→(~Q→P) 14CP(演繹定理)
従って、
(15)(16)により、
(17)
① Pならば(Qであるならば、Pである)。
② Pならば(Qでないならば、Pである)。
に於いて、
① が、「ルカジェヴィッツの公理(Ⅰ)」であるならば、
② も、「ルカジェヴィッツの公理(Ⅰ)」である。
従って、
(15)(17)により、
(18)
① P→(Q→P)
である所の、「ルカジェヴィッツの公理(Ⅰ)」は、
① Pならば(Qであるなしに拘はらず、Pである)。
といふ「意味」に、他ならない。
従って、
(13)(14)(18)により、
(19)
① P→(Q →P)
②(P& Q)→P
に於いて、すなはち、
① Pならば(Qであるなしに拘はらず、Pである)。
②(PであってQである)ならば、いづれにせよ、Pである。
に於いて、
①=② である(移入律・移出律)。
然るに、
(06)により、
(20)
もう一度、確認すると、
1(1) P A
1(2) ~T∨P 1∨I(選言導入)
1(3) T→P 2含意の定義
1(4) ~S∨(T→P) 3∨I(選言導入)
1(5) S→(T→P) 4含意の定義
1(6) ~R∨(S→(T→P)) 5∨I(選言導入)
1(7) R→(S→(T→P)) 6含意の定義
1(8) ~Q∨(R→(S→(T→P))) 7∨I(選言導入)
1(9) Q→(R→(S→(T→P))) 8含意の定義
(ア)P→(Q→(R→(S→(T→P)))) 19CP(演繹定理)
従って、
(06)(11)(12)により、
(21)
「移入律・移出律」が成り立つためには、「∨I(選言導入)」が、「不可欠」である。
然るに、
(22)
我々は、普段、「今日は土曜である(P)。故に、今日は天気が悪いか、または、今日は土曜である(~T∨P)。」
といふやうな「推論(選言導入)」を、行ふことはない。
従って、
(20)(21)(22)により、
(23)
「今日は土曜である(P)。故に、今日は天気が悪いか、または、今日は土曜である(~T∨P)。」といふやうな「推論(選言導入)」は、「役に立たない」やうでゐて、その一方で、「命題論理」といふ「体系」に於いては、「不可欠な推論」である。
といふ、ことになる。