（01）
―「含意の定義」の証明。―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ（選言導入）
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ（選言導入）
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
然るに、
（02）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｔ∨Ｐ １∨Ｉ（選言導入）
１（３） Ｔ→Ｐ ２含意の定義
１（４） ～Ｓ∨（Ｔ→Ｐ） ３∨Ｉ（選言導入）
１（５） Ｓ→（Ｔ→Ｐ） ４含意の定義
１（６） ～Ｒ∨（Ｓ→（Ｔ→Ｐ）） ５∨Ｉ（選言導入）
１（７） Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ）） ６含意の定義
１（８）～Ｑ∨（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ））） ７∨Ｉ（選言導入）
１（９） Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ））） ８含意の定義
従って、
（02）により、
（03）
例へば、
① Ｐ├ Ｔ→Ｐ
① Ｐ├ Ｓ→（Ｔ→Ｐ）
① Ｐ├ Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ））
① Ｐ├ Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ）））
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
然るに、
（04）
演繹定理（Deduction theorem）は次のように表現される。
Ａ は論理式で、Ｂ も論理式で、Γ は複数の論理式の列であるとする。
このとき、
Γ，Ａ├ Ｂ
であるならば、
Γ├ Ａ→Ｂ
であるが、
Γ が空のときは当然、
├ Ａ→Ｂ
である。
（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、３９・４０頁改）
従って、
（03）（04）により、
（05）
「演繹的理」により、
② ├ Ｐ→（Ｔ→Ｐ）
② ├ Ｐ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ））
② ├ Ｐ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ）））
② ├ Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ））））
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
従って、
（02）～（05）により、
（06）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｔ∨Ｐ １∨Ｉ（選言導入）
１（３） Ｔ→Ｐ ２含意の定義
１（４） ～Ｓ∨（Ｔ→Ｐ） ３∨Ｉ（選言導入）
１（５） Ｓ→（Ｔ→Ｐ） ４含意の定義
１（６） ～Ｒ∨（Ｓ→（Ｔ→Ｐ）） ５∨Ｉ（選言導入）
１（７） Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ）） ６含意の定義
１（８） ～Ｑ∨（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ））） ７∨Ｉ（選言導入）
１（９） Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ））） ８含意の定義
（ア）Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ）））） １９ＣＰ（演繹定理）
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（07）
① Ｐ→（Ｔ→Ｐ）
① Ｐ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ））
① Ｐ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ）））
① Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ））））
に於いて、
Ｐは、「真」であるか、「偽」であるかの、いづれかである。
然るに、
（08）
① Ａ→Ｂ は、
① 真→偽 であるならば、そのときに限って「偽」である。
従って、
（08）により、
（09）
① 真→（Ｔ→真）
① 真→（Ｓ→（Ｔ→真））
① 真→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→真）））
① 真→（Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→真））））
は、４つとも、「真」であり、
① 偽→（Ｔ→偽）
① 偽→（Ｓ→（Ｔ→偽））
① 偽→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→偽）））
① 偽→（Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→偽））））
も、４つとも、「真」である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
いづれにせよ、
① Ｐ→（Ｔ→Ｐ）
① Ｐ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ））
① Ｐ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ）））
① Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ））））
といふ「論理式」は、「真（トートロジー）」である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１ （１）Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ）））） Ａ
２ （２）Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＆Ｓ＆Ｔ Ａ
２ （３）Ｐ ２＆Ｅ
２ （４） Ｑ ２＆Ｅ
２ （５） Ｒ ２＆Ｅ
２ （６） Ｓ ２＆Ｅ
２ （７） Ｔ ２＆Ｅ
１２ （８） Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ））） １３ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ）） ４８ＭＰＰ
１２ （ア） Ｓ→（Ｔ→Ｐ）） ５９ＭＰＰ
１２ （イ） Ｔ→Ｐ ６アＭＰＰ
１ （ウ） Ｐ ７イＭＰＰ
（エ）（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＆Ｓ＆Ｔ）→Ｐ １ウＣＰ（演繹定理）
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＆Ｓ＆Ｔ）→Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３ （３） Ｑ Ａ
４ （４） Ｒ Ａ
５ （５） Ｓ Ａ
６（６） Ｔ Ａ
２３ （７）Ｐ＆Ｑ ３４＆Ｉ
２３４ （８）Ｐ＆Ｑ＆Ｒ ４７＆Ｉ
２３４５ （９）Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＆Ｓ ５８＆Ｉ
２３４５６（ア）Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＆Ｓ＆Ｔ ６９＆Ｉ
１２３４５６（イ） Ｐ １アＭＰＰ
１２３４５ （ウ） Ｔ→Ｐ ６イＣＰ（演繹定理）
１２３４ （エ） Ｓ→（Ｔ→Ｐ） ５ウＣＰ（演繹定理）
１２３ （オ） Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ）） ４エＣＰ（演繹定理）
１２ （カ） Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ））） ３オＣＰ（演繹定理）
１ （キ）Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ）））） ２カＣＰ（演繹定理）
従って、
（11）により、
（12）
① Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ →Ｐ））））
②（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ＆ Ｔ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である（移入律・移出律）。
従って、
（11）（12）により、
（13）
① Ｐ→（Ｑ →Ｐ）
②（Ｐ＆ Ｑ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である（移入律・移出律）。
然るに、
（14）
① Ｐならば（Ｑならば、Ｐである）。
②（ＰであってＱである）ならば、Ｐである。
に於いて、
② は、「当然」であるが、
① は、「奇異」である。
然るに、
（15）
因みに、
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
① Ｐならば（Ｑならば、Ｐである）。
は、「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」である。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ（選言導入）
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４）Ｐ→（ Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ（演繹定理）
（ⅱ）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ（選言導入）
１（３） ～～Ｑ∨Ｐ ２ＤＮ
１（４） ～Ｑ→Ｐ ３含意の定義
（５）Ｐ→（～Ｑ→Ｐ） １４ＣＰ（演繹定理）
従って、
（15）（16）により、
（17）
① Ｐならば（Ｑであるならば、Ｐである）。
② Ｐならば（Ｑでないならば、Ｐである）。
に於いて、
① が、「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」であるならば、
② も、「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」である。
従って、
（15）（17）により、
（18）
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
である所の、「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」は、
① Ｐならば（Ｑであるなしに拘はらず、Ｐである）。
といふ「意味」に、他ならない。
従って、
（13）（14）（18）により、
（19）
① Ｐ→（Ｑ →Ｐ）
②（Ｐ＆ Ｑ）→Ｐ
に於いて、すなはち、
① Ｐならば（Ｑであるなしに拘はらず、Ｐである）。
②（ＰであってＱである）ならば、いづれにせよ、Ｐである。
に於いて、
①＝② である（移入律・移出律）。
然るに、
（06）により、
（20）
もう一度、確認すると、
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｔ∨Ｐ １∨Ｉ（選言導入）
１（３） Ｔ→Ｐ ２含意の定義
１（４） ～Ｓ∨（Ｔ→Ｐ） ３∨Ｉ（選言導入）
１（５） Ｓ→（Ｔ→Ｐ） ４含意の定義
１（６） ～Ｒ∨（Ｓ→（Ｔ→Ｐ）） ５∨Ｉ（選言導入）
１（７） Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ）） ６含意の定義
１（８） ～Ｑ∨（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ））） ７∨Ｉ（選言導入）
１（９） Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ））） ８含意の定義
（ア）Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→（Ｔ→Ｐ）））） １９ＣＰ（演繹定理）
従って、
（06）（11）（12）により、
（21）
「移入律・移出律」が成り立つためには、「∨Ｉ（選言導入）」が、「不可欠」である。
然るに、
（22）
我々は、普段、「今日は土曜である（Ｐ）。故に、今日は天気が悪いか、または、今日は土曜である（～Ｔ∨Ｐ）。」
といふやうな「推論（選言導入）」を、行ふことはない。
従って、
（20）（21）（22）により、
（23）
「今日は土曜である（Ｐ）。故に、今日は天気が悪いか、または、今日は土曜である（～Ｔ∨Ｐ）。」といふやうな「推論（選言導入）」は、「役に立たない」やうでゐて、その一方で、「命題論理」といふ「体系」に於いては、「不可欠な推論」である。
といふ、ことになる。