（859）「ド・モルガンの法則」と「含意の定義」は「当然」である。

（01）
―「ド・モルガンの法則」の証明（Ⅰ）。―
（ⅰ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
（ⅱ）
１　　　（１）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
（02）
―「ド・モルガンの法則」の証明（Ⅱ）。―
（ⅲ）
１　　（１）～｛　Ｐ＆Ｑ　＆　Ｒ｝　Ａ
１　　（２）～｛（Ｐ＆Ｑ）＆　Ｒ｝　１結合法則
１　　（３）　～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｒ　　２ド・モルガンの法則
　４　（４）　～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　Ａ
　４　（５）（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　４ド・モルガンの法則
　４　（６）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ　　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　　～Ｒ　　Ａ
　　７（８）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ　　７∨Ｉ
１　　（９）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ　　１４６７８∨Ｅ
１　　（ア）　～Ｐ∨～Ｑ　∨～Ｒ　　９結合法則
（ⅳ）
１　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　∨～Ｒ　　Ａ
１　　（２）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ　　１結合法則
　３　（３）（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　Ａ
　３　（４）　～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　３ド・モルガンの法則
　３　（５）　～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｒ　　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　～Ｒ　　Ａ
　　６（７）　～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｒ　　６∨Ｉ
１　　（８）　～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｒ　　１３５６７∨Ｅ
１　　（９）～｛（Ｐ＆Ｑ）＆　Ｒ｝　６ド・モルガンの法則
１　　（ア）～｛　Ｐ＆Ｑ　＆　Ｒ｝　９結合法則
（03）
―「ド・モルガンの法則」の証明（Ⅲ）。―
（ⅴ）
１（１）～｛　Ｐ∨Ｑ　∨　Ｒ｝　Ａ
１（２）～｛（Ｐ∨Ｑ）∨　Ｒ｝　１結合法則
１（３）　～（Ｐ∨Ｑ）＆～Ｒ　　２ド・モルガンの法則
１（４）　～（Ｐ∨Ｑ）　　　　　３＆Ｅ
１（５）　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　４ド・モルガンの法則
１（６）　　　　　　　　～Ｒ　　３＆Ｅ
１（７）（～Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｒ　　５６＆Ｉ
１（８）　～Ｐ＆～Ｑ　＆～Ｒ　　７結合法則
（ⅵ）
１（１）　～Ｐ＆～Ｑ　＆～Ｒ　　Ａ
１（２）（～Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｒ　　１結合法則
１（３）（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　２＆Ｅ
１（４）　～（Ｐ∨Ｑ）　　　　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　　　　　～Ｒ　　２＆Ｅ
１（６）　～（Ｐ∨Ｑ）＆～Ｒ　　４５＆Ｉ
１（７）～｛（Ｐ∨Ｑ）∨　Ｒ｝　６ド・モルガンの法則
１（８）～｛　Ｐ∨Ｑ　∨　Ｒ｝　７結合法則
（04）
―「ド・モルガンの法則」の証明（Ⅳ）。―
（ⅶ）
１（１）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｒ｝　Ａ
１（２）　～（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ　　１ド・モルガンの法則
１（３）　～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　２＆Ｅ
１（４）（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　　　　　～Ｒ　　２＆Ｅ
１（６）（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ　　４５＆Ｉ
（ⅷ）
１（１）（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ　　Ａ
１（２）（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　１＆Ｅ
１（３）～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　　　　　　～Ｒ　　１＆Ｅ
１（５）　～（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ　　３４＆Ｉ
１（６）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｒ｝　５ド・モルガンの法則
（05）
―「ド・モルガンの法則」の証明（Ⅴ）。―
（ⅸ）
１　　（１）～｛Ｐ＆　（Ｑ∨　Ｒ）｝　Ａ
１　　（２）　～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）　　１ド・モルガンの法則
　３　（３）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　３　（４）　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　３∨Ｉ
　　５（５）　　　　～（Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ
　　５（６）　　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　　５ド・モルガンの法則
　　５（７）　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　６∨Ｉ
１　　（８）　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　２３４５７∨Ｅ
（ⅹ）
１　　（１）　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　Ａ
　２　（２）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）　　２∨Ｉ
　　４（５）　　　　（～Ｑ＆～Ｒ）　　Ａ
　　４（６）　　　　～（Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ
　　４（７）　～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）　　６∨Ｉ
１　　（８）　～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）　　１２３４７∨Ｅ
１　　（９）～｛Ｐ＆　（Ｑ∨　Ｒ）｝　８ド・モルガンの法則
従って、
（01）～（05）により、
（06）
①   ～（Ｐ＆　Ｑ）
②　   ～Ｐ∨～Ｑ
③   ～（Ｐ＆  Ｑ＆　Ｒ）
④     ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
⑤   ～（Ｐ∨  Ｑ∨　Ｒ）
⑥     ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～｛（Ｐ＆  Ｑ）∨　Ｒ｝
⑧   （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
⑨   ～｛Ｐ＆（  Ｑ∨　Ｒ）｝
⑩　   ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝②
③＝④
⑤＝⑥
⑦＝⑧
⑨＝⑩
である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（07）
―「含意の定義」の証明。―
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　イＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（07）により、
（08）
① 　Ｐ→Ｑ≡Ｐならば、Ｑである。
② ～Ｐ∨Ｑ≡Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
①   ～（Ｐ＆　Ｑ）
②　 　  Ｐ→～Ｑ
③   ～（Ｐ＆  Ｑ＆　Ｒ）
④ 　    Ｐ→　Ｑ→　Ｒ
⑤   ～（Ｐ∨  Ｑ∨　Ｒ）
⑥     ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～｛（Ｐ＆  Ｑ）∨　Ｒ｝
⑧     （Ｐ→～Ｑ）＆～Ｒ
⑨   ～｛Ｐ＆（  Ｑ∨　Ｒ）｝
⑩　   　Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝②
③＝④
⑤＝⑥
⑦＝⑧
⑨＝⑩
である（ド・モルガンの法則＆含意の定義）。
従って、
（09）により、
（10）
例へば、
⑨ ～｛Ｐ＆（  Ｑ∨　Ｒ）｝≡｛Ｐであって、　　（Ｑであるか、または、Ｒである）｝といふことはない。
⑩　 　Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）  ≡　Ｐであるならば、（Ｑではないし、　　　Ｒでもない）。
に於いて、
⑨＝⑩ である。
従って、
（10）により、
（11）
⑨ ～｛無＆（  偶∨　奇）｝≡｛無理数であって、　　（偶数であるか、または、奇数である）｝といふことはない。
⑩　 　無→（～偶＆～奇）  ≡　無理数であるならば、（偶数ではないし、　　　奇数でもない）。
に於いて、 
⑨＝⑩ である。
然るに、
（12）
⑨｛無理数であって、　　（偶数であるか、または、奇数である）｝といふことはない。
⑩　無理数であるならば、（偶数ではないし、　　　奇数でもない）。
に於いて、
⑨＝⑩ である。
といふことは、「当然」である。
ｃｆ.
無理数（むりすう、 英: irrational number）とは、有理数ではない実数、つまり分子・分母ともに整数である分数（比 = 英: ratio）として表すことのできない実数を指す（ウィキペディア）。
従って、
（13）
「含意の定義」は、「当然」であるし、
「ド・モルガンの法則」も、「当然」である。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
―「ド・モルガンの法則」の証明（Ⅰ）。―
（ⅰ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
（ⅱ）
１　　　（１）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
といふ「計算」は、「ド・モルガンの法則」といふ「当然の理」を、「Ａ、∨Ｉ、＆Ｉ、ＲＡＡ、ＤＮ、∨Ｅ」といふ「規則」で、「説明」してゐる。
といふ、ことになる。