― 今日は、（４７９）へのアクセスが、多くなってゐます。―
（01）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる。
パースの法則は直観論理や中間命題論理では成立せず、演繹定理だけからでは導くことができない（ウィキペディア）。
（02）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ２含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ６７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ である所の、「パースの法則」は、 「Ａ、含意の定義、ＭＰＰ、ＣＰ、ド・モルガンの法則、＆Ｅ、∨Ｅ」によって、「証明」出来る。
然るに、
（04）
―「含意の定義」の証明。―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（05）
―「ド・モルガンの法則」の証明（Ⅰ）。―
（ⅰ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
～Ｐ∨～Ｑ ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（ Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（04）（05）により、
（06）
「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」は、
「Ａ、∨Ｉ、＆Ｉ、ＲＡＡ、ＤＮ、ＭＰＰ、＆Ｅ、ＣＰ、∨Ｅ」によって、「証明」出来る。
従って、
（03）（06）により、
（07）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ である所の、「パースの法則」は、
「Ａ、含意の定義、ＭＰＰ、ＣＰ、ド・モルガンの法則、＆Ｅ、∨Ｅ」によって、「証明」出来、
「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」は、
「Ａ、∨Ｉ、＆Ｉ、ＲＡＡ、ＤＮ、ＭＰＰ、＆Ｅ、ＣＰ、∨Ｅ」によって、「証明」出来る。
従って、
（07）により、
（08）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ である所の、「パースの法則」は、
「Ａ、ＭＰＰ、ＤＮ、ＣＰ、＆Ｉ、＆Ｅ、∨Ｉ、∨Ｅ、ＲＡＡ」によって、「証明」出来る。
然るに、
（09）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ である所の、「パースの法則」は、
「E.J.レモンの、自然演繹の規則」である所の、「原子規則（10 primitive rules）」である、
「Ａ、ＭＰＰ、ＤＮ、ＣＰ、＆Ｉ、＆Ｅ、∨Ｉ、∨Ｅ、ＲＡＡ」によって、「証明」出来る。
然るに、
（10）
命題計算の規則は、本質的にゲンツェン（G.Gentzen）」に由来するものである。
（E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、序ⅲ）
従って、
（09）（10）により、
（11）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ である所の、「パースの法則」は、
「E.J.レモンの、自然演繹の規則（ゲンツェンの自然演繹に由来する）によって、「証明」出来る。
従って、
（01）（11）により、
（12）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ である所の、「パースの法則」は、「演繹定理」だけでは導くことができない（ウィキペディア）。」
とは言ふものの、「パースの法則」は、「ゲンツェンの自然演繹」だけで、導くことができる。
従って、
（01）（02）（12）により、
（13）
「パースの法則は直観論理や中間命題論理では成立しない（ウィキペディア）。」
とは言ふものの、
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ２含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ６７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
といふ「証明」からすれば、「パースの法則」は、「ごく普通の、恒真式（トートロジー）の一つ」に、過ぎない。
（01）
すべての正の整数が奇数ではなく、またすべての数が偶数でもない。この場合には、自然な試みを差しとめるのは「ＵＩに対する制限」である。
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
３（３） Ｆａ Ａ
Ｆａ∨Ｇａ を（１）から結論し、そして第１の選言項Ｆａを（３）の行に仮定する。しかし（３）は「ａ」を含む故、ここで、「ＵＩに対する制限」が、∀ｘ（Ｆｘ）を結論とすることをさしとめる。
（E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５６頁改）
従って、
（01）により、
（02）
次の「計算」は、「ＵＩに対する制限」を満たしてゐないが故に、「マチガイ」である。
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
３ （３） Ｆａ Ａ
３ （４）∀ｘ（Ｆｘ） ３ＵＩ（はマチガイである。）
３ （５）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ４∨Ｉ
６（６） Ｇａ Ａ
６（７） ∀ｘ（Ｇｘ） ６ＵＩ（はマチガイである。）
６（８）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ７∨Ｉ
１ （９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ２３５６８∨Ｅ（はマチガイである。）
然るに、
（03）
次の「計算」は、「ＵＩ」自体が無いため、「正しい」。
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
３ （３） Ｆａ Ａ
３ （４）∃ｘ（Ｆｘ） ３ＥＩ（は正しい。）
３ （５）∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ４∨Ｉ
６（６） Ｇａ Ａ
６（７） ∃ｘ（Ｇｘ） ６ＥＩ
６（８）∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ７∨Ｉ（は正しい。）
１ （９）∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ２３５６８∨Ｅ（は正しい。）
従って、
（03）により、
（04）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、少なくとも、
① ならば、② である。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
３ （３） Ｆａ Ａ
３ （４） Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
３ （５）∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ４ＥＩ
２ （６）∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ２３５ＥＥ
７ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
８（８） Ｇａ Ａ
８（９） Ｆａ∨Ｇａ ８∨Ｉ
８（ア） ∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ９ＥＩ
７ （イ） ∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ７８アＥＥ
１ （ウ）∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） １２６７イ∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ∨Ｇａ Ａ
３ （３） Ｆａ Ａ
３ （４）∃ｘ（Ｆｘ） ３ＥＩ
３ （５）∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ４∨Ｉ
６ （６） Ｇａ Ａ
６ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） ６ＥＩ
６ （８）∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ７∨Ｉ
２ （９）∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ２３５６８∨Ｅ
１ （ア）∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １２９ＥＥ
従って、
（05）により、
（06）
② ∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
③ ∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
③ ∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であって、
② は、 ③ に等しい。
が故に、
① ならば、③ である。
従って、
（07）により、
（08）
「番号」を付け直すと、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
１ （３）∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ２ＥＩ
といふ「計算」は「正しく」、
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
２（２） Ｆａ∨Ｇａ Ａ
２（３）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ２ＵＩ（はマチガイである。）
１ （４）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） １２３ＥＥ（はマチガイである。）
といふ「計算」は、「ＵＩに対する制限」に対する「違反」であるため、「マチガイ」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である、ではない。
（11）
例へば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）≡すべての自然数ｘは（奇数であるか、遇数である）。
② ∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）≡ ある自然数ｘは（奇数であるか、遇数である）。
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（12）
例へば、
②「２」といふ、「一つの自然数」が「偶数」である。
ならば、それだけで、
② ∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）≡ ある自然数ｘは（奇数であるか、遇数である）。
といふ「命題」は、「真（本当）」である。
然るに、
（13）
①「２」以外にも、「無数の自然数」が存在する。
が故に、
②「２」といふ、「一つの自然数」が「偶数」である。
としても、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）≡すべての自然数ｘは（奇数であるか、遇数である）。
といふ「命題」は、「真（本当）」には、ならない。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
例へば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）≡すべての自然数ｘは（奇数であるか、遇数である）。
② ∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）≡ ある自然数ｘは（奇数であるか、遇数である）。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。ではない。
従って、
（10）（14）により、
（15）
「結論」として、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である、ではない。
（16）
（ⅰ）｛∀ｘ（Ｆｘ）→Ｆａ｝→∃ｘ（Ｆｘ）
（ⅱ） Ｆａ →∃ｘ（Ｆｘ）
（ⅲ） ∃ｘ（Ｆｘ）→Ｆａ
（ⅳ）｛∃ｘ（Ｆｘ）→Ｆａ｝→∀ｘ（Ｆｘ）
（ⅴ） Ｆａ →∀ｘ（Ｆｘ）
に於いて、
（ⅰ）は「正しい」。
（ⅱ）は「正しい」。
（ⅲ）は「正しくはない」。
（ⅳ）は「正しくはない」。
（ⅴ）は「正しくはない」。
（17）
「ＵＩに対する制限」といふのは、
（ⅳ）｛∃ｘ（Ｆｘ）→Ｆａ｝→∀ｘ（Ｆｘ）
（ⅴ） Ｆａ →∀ｘ（Ｆｘ）
は、両方とも、「正しくない」にも拘らず、
（ⅳ）｛∃ｘ（Ｆｘ）→Ｆａ｝→∀ｘ（Ｆｘ）
（ⅴ） Ｆａ →∀ｘ（Ｆｘ）
を、「正しい」と、することをいふ。
ただし、
（18）
（ⅲ） ∃ｘ（Ｆｘ）→Ｆａ
については、「説明」を、必要とする。
ｃｆ.
代表的選言項（typical disjunct）