三角関数の微分

　微積分の復習をしているうちに、三角関数の微分を図形を使って説明できないかと考えた。夜、寝ているとき思いついた。


　図は半径１の円。この円の円周上に図のように点P、P'を取る。
∠POx=θ
∠POx=θ＋Δθ　
とする。


便宜上、図は第1象限にしてある。（他も技術的に工夫すればよいだろう）
０≦θ≦π/2 （角はラジアン）

P,P'からx軸に垂線H,H'をひく
PのP'の座標はそれぞれ
P(cosθ,sinθ)
P'(cos(θ+Δθ),sin(θ+Δθ))

こうしておいて、(sinθ)'を求める。（微分はθについて微分）
すなわち、y=sinθでdy/dθを求める。
そのためには増分Δyを求める。
すなわち、
Δy=sin(θ+Δθ)-sinθであるが、図では
Δy=P'H'-PHである。

このときP通り、x軸と平行な直線とP'H'との交点をQとすると、
Δy=P'H'-PH＝P'Q

さて上の図をPの付近で拡大してみよう。



∠P'OP=Δθ は弧度法を用いているので、弧P'P=Δθである。
P'がPに非常に近いとすれば、弧PP'は、ほぼ線分PP'
すると三角形PP'Qで∠Q=直角であるから
Δy/Δθ=cos∠PP'Q

ここで極限操作を行う。すなわち
Δθ→0とするとP'→Pであるから,
∠OPP'→90度、∠OP'P→90度より、

∠PP'Q→θ

したがって、Δy/Δθ→cosθ

これよりdy/dθ=(sinθ)'=cosθ





つぎに
(cosθ)'を求めてみよう。
x=cosθでdx/dθを求めればよい。

xの増分Δx=cos(θ+Δθ)-cosθ
図ではOH'-OHこれは図から負の数になるので
Δx=OH'-OH=-PQ
これより、PQ=-Δx

微分商Δx/Δθは-PQ/PP'である。

図から、PQ/PP'=cos∠PP'Q
ここで極限操作をする。

Δθ→0とするとP'→Pであるから,
∠OPP'→90度、∠OP'P→90度より、

∠PP'Q→θ よりPQ/PP'→cosθ

したがって、Δx/Δθ=-PQ/PP'→-cosθ
これより、dx/dθ=-cosθ

このように図で表すと、弧度法を使う理由もはっきりしてくるのではないだろうか。
sin cosの微分は図で説明したものが少ない。

ほとんどの教科書は公式を駆使して

Δy=sin(θ+Δθ)-sinθ
=2sinΔθ/2・cos(θ+Δθ/2)と変形してから、微分商

{2sinΔθ/2・cos(θ+Δθ/2)}/Δθ=(sinΔθ/2)/(Δθ/2)・cos(θ+Δθ/2)

このあと極限操作をしΔθ→0ならΔθ/2→0より
(sinΔθ/2)/(Δθ/2)・cos(θ+Δθ/2)→１・cosθを導いているが、

　何をやっているのか分からずに証明のための証明になってしまっていると私は思う。

寝ているときに思いついた図ではy=sin xとして、同じような図を考えた。
x=cosθ, y=sinθでの方法は数年前の三省堂の教科書を参考にした。
この教科書（後述）は数教協のメンバーが執筆者になっている。