伝説の良問３

====1981年 同志社大 法学部====================================

1から12までの整数を6個ずつA組、B組の２組に分け、A組の数を
a1, a2, a3, a4, a5, a6とし、B組の数をb1, b2, b3, b4, b5, b6 とする。

b1, b2, b3, b4, b5, b6 のうちa1 より小さいものの個数をm1 とする。
同様に a2, a3, a4, a5, a6 より小さいものの個数をそれぞれ
m2, m3, m4, m5, m6 とするとき、
(a1+a2+a3+a4+a5+a6) －(m1+m2+m3+m4+m5+m6)
は A組、B組の２組に分ける分け方に関係せず一定であることを示せ。

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では、解答を示す。

（解答）
(a1+a2+a3+a4+a5+a6) －(m1+m2+m3+m4+m5+m6)
＝(a1-m1)+(a2-m2)+(a3-m3)+(a4-m4)+(a5-m5)+(a6-m6)
であることに注意する。

a1, a2, a3, a4, a5, a6 がこの順に大きいとしても
一般性は失われることはない。
k=1, 2, 3, 4, 5, 6 として
akについて考える。
１からakまでの数はak個あり、数akが最大数である。
そのうち a1, a2, …, ak の k個はA組に属し残りはB組の数である。
このB組の各数は数akが最大であるから、すべてakより小さい。
よってB組に属する数の個数mkは ak-k に等しい。
すなわち、 mk=ak-k
これより　ak-mk=k を得る。
以上から、
(a1+a2+a3+a4+a5+a6) －(m1+m2+m3+m4+m5+m6)
＝(a1-m1)+(a2-m2)+(a3-m3)+(a4-m4)+(a5-m5)+(a6-m6)
＝１＋２＋３＋４＋５＋６＝６・７／２＝２１（一定）

なぜこの解答が分からなかったかをもう一度
分析してみたい。

つづく