階差と次数

ずっと前から悩んでいた問題。 

「一般項が整式である数列について、その数列の次数は、階差数列の次数より１だけ高い」

  いろいろ証明を試みたが、いつも失敗。うまい方法はないものかと考えていた。ようやく考えがまとまり、証明ができそうだ。先日の規則性の問題で、思い出したわけ。

  どういうことかというと、

  数列{a_n}の一般項a_nがnの整式で表されるとき、{a_n}の階差数列を{b_n}として、b_nの次数をpとすると、a_nはp+1次の整式である。

階差数列{b_n}とはb_n=a_n+1-a_n  で求められる数列のことである。

この逆は簡単。

 数列{a_n}の一般項a_nがnの整式で表されるとき、{a_n}の階差数列を{b_n}として、a_nの次数をpとすると、b_nはp-1次の整式である。

a_n=c₀+c₁n+c₂n²+....+c_p-1n^p-1+c_pn^p   とすると、

a_n+1=c₀+c₁(n+1)+c₂(n+1)²+....+c_p-1(n+1)^p-1+c_p(n+1)^p   である。

b_n=a_n+1-a_n  ついて、a_n+1、a_nのp次の項はともに、c_pn^p であるから、p次の項が消えて、b_nはp-1次の整式となる。

（b_nのp-1次の項が0でないことにも触れねばならないが、ここでは省略する）