図形問題（２１）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１６年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「図のように、１辺の長さが３の立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあり、点Ｐ、Ｑはそれぞれ辺ＢＦ、ＤＣ上にあって、ＢＰ＝ＤＱ＝１ である。このとき、次の問に答えよ。

▲問題図

（１） 四面体ＡＰＱＧを平面ＡＥＧＣで切ったときの切り口の面積を求めよ。

（２） 四面体ＡＰＱＧの体積を求めよ。」
です。

図１のように、与えられた条件を書き入れましょう。このとき、Ｑから辺ＧＨに下ろした垂線の足をＲとしました。

▲図１．与えられた条件を書き入れました

それでは（１）から始めましょう。

四面体ＡＰＱＧを平面ＡＥＧＣで切った切り口は、図２のようになります。

▲図２．四面体ＡＰＱＧを平面ＡＥＧＣで切った切り口です

図２のＳＵ、ＳＴの長さを求めれば、切り口ＡＧＳの面積を計算することができます。

まず、ＳＵの長さを計算しましょう。

図３のように立方体を面ＡＢＣＤから見ると、四角形ＡＢＣＤは正方形なので

になります。

▲図３．ＳＵの長さを計算します

また、△ＡＢＴ∽△ＣＱＴでその相似比が３：２であることから

で、ＣＴ＝ＳＵなので、

になります。

次にＳＴの長さです。

図４のように平面ＢＦＲＱを調べると、△ＱＰＢ∽△ＱＳＴでその相似比が３：２であることから

になります。

▲図４．ＳＴの長さを計算します

以上から、四面体ＡＰＱＧを平面ＡＥＧＣで切った切り口でのＳの位置は、図５のようになります。

▲図５．四面体ＡＰＱＧを平面ＡＥＧＣで切った切り口のＳの位置です

このとき、

なので、四角形ＡＰＱＧを平面ＡＥＧＣで切った切り口の面積は

で、これが答えです。

続いて（２）です。

四面体ＡＰＱＧの体積は、三角錐Ｐ－ＡＧＳと三角錐Ｑ－ＡＧＳの体積の和になります。

図６のように、三角錐Ｐ－ＡＧＳと三角錐Ｑ－ＡＧＳで底面を△ＡＧＳとするとき、それぞれの高さはＯＢとＯＶになります。

▲図６．三角錐Ｐ－ＡＧＳとＱ－ＡＧＳの高さはそれぞれＯＢとＯＶです

ここで、

から、


です。

したがって、

で、これが答えです。


簡単な問題です。