無理数であることの証明－背理法－

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝から良い天気ですが、夜から雨になるようです。その後、しばらくぐずぐずした天気が続くようです。

昨日の平方根に続いて無理数の話です。中３の教科書には、無理数とは、「分数で表すことのできない数」と説明し、章末に√２が分数で表せないことを補足説明するページを設けています。

この補足説明で使われているのが「背理法」と呼ばれるテクニックです。背理法ではまずはじめに、証明すべき命題は「偽である」「成り立たない」と仮定し、その仮定から　“馬鹿げた結果”　を導き出し、元の仮定が間違えていることを示す論法です。この前提になっているのは、どのような命題Ｐについても、Ｐまたはその否定￢Ｐのどちらか一方は必ず真であるという「排中律」で、数学は基本的にこの排中律のもとで構成されています。白か黒かしか無くて、灰色というのを認めない訳です。

では、教科書の説明を追っていきます。

【１】
１＾2＝１、（√２）＾2＝２、２＾2＝４　なので
１＜√２＜２
となり、√２は整数でない。（Ａ＾2　は、Ａの２乗を表します）

【２】
ａを整数、ｂを０でない整数として、√２が分数ａ/ｂで表すことができる　　（１）
と仮定する。但し、ａ/ｂは既約分数とする。

【３】
√２＝ａ/ｂの両辺を２乗すると、
（√２）＾2＝（ａ/ｂ）＾2
つまり、
２＝（ａ/ｂ）×（ａ/ｂ）　　　（２）

【４】
ここで、ａ/ｂは既約なので、（ａ/ｂ）＾2　も約分できない。従って、（ａ/ｂ）＾2が、整数２になることはない。

【５】
すなわち、（２）は成り立たない。このようなことが起こったのは、（１）の仮定が誤っていたからである。従って、√２は分数で表せないことがわかる。

初めの【１】は、必ずしも必要ではないと思いますが、【２】以降のｂが±１でないこと、つまり、【４】ので（ａ/ｂ）＾2　が整数にならない、というところを意識しているのでしょうか。

【２】の仮定が背理法のポイントで、この後の論証で　“馬鹿げた結果”　を導き出し、仮定が間違っていると結論する訳です。

そこで、【３】で仮定の式を変形し、【４】で左辺が整数、右辺が分数（分母が１でない）となるという　“馬鹿げた結果”　を導くことができました。そして、最後の結論【５】で、こうなったのは仮定が間違えていたからだ、としてお仕舞いです。

次に、この背理法を使って、√２＋√３が無理数になることを示しましょう。

√２も√３も無理数だから、無理数＋無理数＝無理数　というのは駄目で、例えば、無理数√２と無理数１－√２の場合、√２＋１－√２＝１と有理数になります。

そこで、√２が無理数であることを説明した方法で、
√２＋√３＝ａ/ｂ　　　（３）
と仮定します。もちろん、ａは整数、ｂは０でない整数、ａ/ｂは既約です。

（３）の両辺を２乗して、
５＋２√６＝（ａ/ｂ）＾2
従って、
√６＝（（ａ/ｂ）＾2）/２－５/２　　（４）

（４）の右辺は有理数なので、それをｐ/ｑとして、（ｐ/ｑは既約）
√６＝ｐ/ｑ　　（５）

（５）の両辺を２乗して、
６＝（ｐ/ｑ）＾2　　（６）

√２のときと同じように、ｐ/ｑは既約なので、（ｐ/ｑ）＾2　も約分できない。従って、（ｐ/ｑ）＾2が、整数６になることはない。このようなことが起こったのは、（３）の仮定が誤っていたからである。従って、√２＋√３は分数で表せないことがわかる。

以上で√２＋√３が無理数であることの説明がお仕舞いです。いろいろ試してみてください。